Какая цифра является последней цифрой разности 1*2*3*4...*2021-1*3*5*...*2019*2021?

Чтобы решить эту задачу, мы можем сначала вычислить оба множителя и затем вычислить их разность.

Первый множитель - произведение всех нечетных чисел от 1 до 2021. Мы можем представить его как \((1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 2019 \cdot 2021)\).

Второй множитель - произведение всех четных чисел от 2 до 2020. Мы можем представить его как \((2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2020)\).

Теперь, чтобы вычислить разность данных множителей, мы должны вычислить каждое множительное выражение отдельно и затем вычесть результаты.

\((1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 2019 \cdot 2021)\) равно произведению всех нечетных чисел от 1 до 2021.

Мы можем заметить, что каждое нечетное число можно записать в виде \(2n-1\), где \(n\) - некоторое целое число.

Таким образом, выражение будет выглядеть следующим образом: \(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1) \cdot ... \cdot 2019 \cdot 2021\).

Теперь рассмотрим второй множитель, \((2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2020)\). В этом выражении каждое четное число можно записать в виде \(2n\).

Выражение будет иметь следующий вид: \(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2n) \cdot ... \cdot 2020\).

Теперь мы можем провести некоторые алгебраические преобразования, чтобы упростить эти выражения.

Первое выражение можно представить в виде: \((2n-1)\) * \((2n-3)\) * \((2n-5)\) * ... * 1.

Второе выражение можно представить в виде: \(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2n)\).

Теперь мы можем учесть, что \((2n-1)\) * \((2n-3)\) * \((2n-5)\) * ... * 1 равно \((2n)!\) / \((2^nn!)\).

Где \((2n)!\) обозначает факториал числа \(2n\), а \(2^nn!\) - факториал числа \(2n\) с вычетом всех четных чисел.

Теперь, чтобы вычислить разность между двумя множителями, мы можем записать следующее выражение:

\(((2n)!\) / \((2^nn!)) - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2n)\).

Мы знаем, что последняя цифра числа определяется его остатком от деления на 10. Поэтому, чтобы найти последнюю цифру разности, нам нужно найти последнюю цифру каждого из этих двух множителей по отдельности и затем вычесть их.

Подставляя числа от 1 до 2021 вместо \(n\) в формулу, мы можем получить конечное выражение.

Однако, при больших значениях \(n\), вычисление всех этих факториалов может занять много времени. Вместо этого, мы можем использовать метод расчета последней цифры произведения для упрощения решения.

Последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения их последних цифр. Мы можем применить этот метод последовательно для каждого из произведений.

Таким образом, последняя цифра разности будет равна последней цифре произведения последних цифр исходных множителей.

Найдем последнюю цифру каждого из вышеперечисленных множителей:

\((2n)!\) / \((2^nn!)\) - последняя цифра равна последней цифре произведения последних цифр каждого числа, участвующего в произведении.

2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2n) - последняя цифра равна последней цифре произведения последних цифр каждого числа, участвующего в произведении.

Теперь, чтобы найти последнюю цифру разности, мы можем вычесть последнюю цифру второго множителя из последней цифры первого множителя.

Проверяя последнюю цифру всех чисел в множителях, можно заметить следующие закономерности:

1. Последняя цифра факториала числа \(2n\) (в числителе) всегда будет равна 0 (так как в косвенных множителях всегда будет 5 и 2, что приводит к последней цифре 0).

2. Последняя цифра произведения четных чисел будет равна 8 при нечетном значении \(n\) и 0 при четном значении \(n\), так как четные числа всегда заканчиваются на 2.

Таким образом, чтобы найти последнюю цифру разности, нам необходимо знать значение \(n\). Если \(n\) - нечетное число, то последняя цифра разности будет 2, иначе - 0.

Таким образом, ответ на задачу будет зависеть от значения \(n\).