Какая была длина вытянутого свободного конца веревки при поднятии груза на высоту

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать понятие работы и сохранение механической энергии.

Когда груз поднимается на высоту, мы знаем, что работа, совершенная силой тяжести, равна приращению потенциальной энергии груза. Работа вычисляется по формуле \( W = mgh \), где \( W \) - работа, \( m \) - масса груза, \( g \) - ускорение свободного падения (\( 9.8 \, м/с^2 \)) и \( h \) - высота подъема.

Также мы знаем, что работа, совершенная силой натяжения веревки, равна приращению кинетической энергии веревки, так как она является неподвижной. Работа натяжения найдется по формуле \( W = \frac{1}{2}mv^2 \), где \( m \) - масса веревки и \( v \) - скорость движения веревки.

В начальный момент времени, когда груз еще не поднят, скорость веревки равна нулю, поэтому работа натяжения равна нулю.

Следовательно, работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии груза. Тогда, можно записать это следующим образом:

\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \]

Масса \( m \) сокращается:

\[ gh = \frac{1}{2}v^2 \]

Теперь найдем выражение для скорости движения веревки \( v \).

Для этого мы можем использовать уравнение равномерно ускоренного движения:

\[ v^2 = u^2 + 2as \]

Где \( u \) - начальная скорость (нулевая) и \( s \) - путь, который прошла веревка.

Заменяя значения, получаем:

\[ v^2 = 0 + 2gh \]

И, следовательно:

\[ v = \sqrt{2gh} \]

Теперь, зная значение скорости, мы можем выразить длину веревки \( s \).

Найдем время подъема груза на высоту \( h \) с ускорением \( g \) по формуле \( t = \frac{v}{g} \). Заметим, что это время подъема также является временем, которое прошла веревка.

Зная время подъема и начальную скорость ноль, можем найти путь, который прошла веревка по формуле равномерно ускоренного движения: \( s = \frac{1}{2}gt^2 \).

Теперь у нас есть все данные, чтобы решить задачу.

\[ s = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}g\left(\frac{v}{g}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{v}{g}\right)^2g = \frac{v^2}{2g} \]

Теперь мы можем найти значение длины вытянутого свободного конца веревки при поднятии груза на высоту.

\[ s = \frac{v^2}{2g} = \frac{2gh}{2g} = h \]

Таким образом, длина вытянутого свободного конца веревки при поднятии груза на высоту равна \( h \).