Как связаны квадраты периодов обращения планет с кубами больших полуосей их орбит?

Для понимания связи между квадратами периодов обращения планет и кубами их больших полуосей, давайте рассмотрим законы Кеплера и формулу гравитационного закона Ньютона.

Первый закон Кеплера (закон орбит): каждая планета движется по эллиптической орбите, солнце находится в одном из фокусов этой орбиты.

Второй закон Кеплера (закон радиус-векторов): радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, закрывает за равное время одинаковые площади.

Третий закон Кеплера (закон периодов): квадрат периода обращения планеты (времени, за которое она совершает полный оборот вокруг Солнца) пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты.

Теперь, давайте рассмотрим формулу гравитационного закона Ньютона:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где F - сила гравитации между двумя телами, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, а r - расстояние между ними.

С помощью гравитационного закона Ньютона и закона радиус-векторов Кеплера можно выразить период обращения планеты (T) через большую полуось орбиты (a):

\[\frac{{T^2}}{{a^3}} = \frac{{4 \cdot \pi^2}}{{G \cdot M_{\odot}}}\]

Где \(M_{\odot}\) - масса Солнца.

Теперь давайте воспользуемся вторым законом Кеплера, чтобы понять, как связаны площади, радиус-векторы и периоды обращения планет.

Из закона радиус-векторов Кеплера следует, что площадь S, закрытая радиус-вектором планеты за время t, будет пропорциональна времени:

\[S \propto t\]

Также из второго закона Кеплера следует, что площадь S можно выразить через полуось орбиты a и радиус-вектор r:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r\]

Соединяя эти два уравнения, получим:

\[t \propto a \cdot r\]

Таким образом, мы видим, что время, за которое радиус-вектор планеты охватывает площадь, пропорционально произведению полуоси орбиты и радиус-вектора планеты.

Теперь, вспомнив третий закон Кеплера (закон периодов), мы знаем, что квадрат периода обращения (T) пропорционален кубу большой полуоси (a) орбиты планеты:

\[T^2 \propto a^3\]

Объединив все эти законы и пропорциональности, мы можем сделать вывод о связи между квадратами периодов обращения планет и кубами их больших полуосей: квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их больших полуосей.

Это математическое соотношение показывает, что с увеличением большой полуоси орбиты планеты кубически, период обращения планеты увеличивается в квадрате. И наоборот, сокращение большой полуоси орбиты планеты приведет к уменьшению периода обращения в квадрате.

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам лучше понять связь между квадратами периодов обращения планет и кубами их больших полуосей. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!