Как решить задачу по Технической механике, 9 вариант, задача с буквой?

Конечно, я помогу вам решить задачу по Технической механике. Давайте приступим!

Задача:
На гладкой горизонтальной плоскости радиусом \(R\) скатился шар массой \(m\) и начальной скоростью \(v_0\). Шар подпрыгнул на высоту \(H\) и упал обратно на плоскость. Найдите:
а) время, которое шар пребывает в воздухе;
б) скорость шара в момент касания плоскости вторичным ударом.

Решение:
а) Для начала определим, какой высоты достигает шар при прыжке. По закону сохранения энергии системы (прыжок + возврат на плоскость) мы можем записать:

\[\frac{m}{2}v_0^2 = mgh\]

где \(h\) - максимальная высота прыжка шара. Здесь \(g\) - ускорение свободного падения, примем его равным приближенно \(9.8 \, \text{м/с}^2\).

Теперь, воспользуемся кинематическим уравнением для вертикального движения:

\[h = v_0t - \frac{gt^2}{2}\]

где \(t\) - время полета шара в воздухе. Из этого уравнения можно найти значение времени.

Решим уравнение для высоты:

\[h = v_0t - \frac{gt^2}{2}\]

\[0 = gt^2 - v_0t + h\]

Это квадратное уравнение относительно времени \(t\). Решим его используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-v_0)^2 - 4gh\]
\[D = v_0^2 - 4gh\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Где \(a = g\), \(b = -v_0\), \(c = h\). Подставим значения и найдем время полета:

\[t_1 = \frac{-(-v_0) + \sqrt{v_0^2 - 4gh}}{2g}\]
\[t_2 = \frac{-(-v_0) - \sqrt{v_0^2 - 4gh}}{2g}\]

Выберем положительное значение времени \(t\) (длительность пребывания шара в воздухе), так как отрицательное значение времени не имеет физического смысла. Получив значение времени \(t\), мы сможем ответить на вопрос а).

б) Теперь найдем скорость, с которой шар касается плоскости вторичным ударом. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии:

\[\frac{m}{2}v_f^2 = mgh\]

где \(v_f\) - скорость шара в момент касания плоскости. Применяем этот закон и находим значение скорости \(v_f\). Получив его значение, мы сможем ответить на вопрос б).

Таким образом, решив эти два вопроса, описанные в задаче, мы найдем время, которое шар пребывает в воздухе (а) и скорость шара в момент касания плоскости вторичным ударом (б).