Как реализовать алгоритм быстрого возведения в степень?

Алгоритм быстрого возведения в степень позволяет эффективно возводить число в большую степень. У него есть несколько шагов, которые я поясню ниже.

Допустим, у вас есть число \(a\) и нужно возвести его в степень \(n\). Определим новую переменную \(result\) и присвоим ей значение 1. Затем начнем делить показатель степени \(n\) на 2 и выполнять следующие действия:

1. Проверьте, является ли \(n\) четным числом. Если это так, то запишите \(a\) в степени 2 в переменную \(a\) и разделите \(n\) на 2.
\[a = a^2, n = \frac{n}{2}\]

2. Если \(n\) нечетное число, то запишите текущее значение \(a\) в переменную \(result\) и выполните следующие действия:
\[result = result \cdot a,\]
\[a = a^2,\]
\[n = \frac{n-1}{2}.\]

3. Повторяйте шаги 1 и 2, пока \(n\) не станет равным 0.

Когда алгоритм завершится, переменная \(result\) будет содержать результат возведения числа \(a\) в степень \(n\).

Теперь рассмотрим пример для наглядности. Пусть \(a = 3\) и \(n = 7\):

Шаг 1: \(n\) нечетное, поэтому \(result = 1 \cdot 3 = 3\), \(a = 3^2 = 9\), \(n = (7-1)/2 = 3\).
Шаг 2: \(n\) нечетное, поэтому \(result = 3 \cdot 9 = 27\), \(a = 9^2 = 81\), \(n = (3-1)/2 = 1\).
Шаг 3: \(n\) нечетное, поэтому \(result = 27 \cdot 81 = 2187\), \(a = 81^2 = 6561\), \(n = (1-1)/2 = 0\).

Алгоритм завершился, и \(result = 2187\) является результатом возведения числа 3 в степень 7.

Таким образом, мы получили результат возведения числа \(a\) в степень \(n\) с помощью алгоритма быстрого возведения в степень. Этот алгоритм позволяет значительно сократить количество операций, необходимых для возведения числа в большую степень.