Как получить 16-ричное представление целого числа в ячейке размером 2 байта (используя дополнительный код)?

Для начала, давайте рассмотрим, как получить 16-ричное представление целого числа в ячейке размером 2 байта с использованием дополнительного кода.

Для положительных чисел, чтобы получить их 16-ричное представление, мы можем каждый байт числа просто конвертировать в соответствующие шестнадцатеричные символы. Но для отрицательных чисел мы должны использовать дополнительный код.

Дополнительный код отрицательного числа можно получить, инвертируя все биты в двоичном представлении числа и затем добавляя единицу к полученному значению. Таким образом, для числа -1450 в двоичном представлении мы сначала получаем его абсолютное значение ("1450" в двоичной форме), инвертируем все биты и добавляем единицу:

\(1450_{10} = 10110100010_2\)

Инвертирование всех битов:

\(01001011101_2\)

Добавление единицы:

\(01001011110_2\)

Теперь мы можем разбить полученное значение на два байта (по 8 бит) и конвертировать их в шестнадцатеричное представление. Получаем: 0x4BE.

Аналогично для числа -1341 в двоичной форме получаем:

\(1341_{10} = 10100111101_2\)

Инвертирование всех битов:

\(01011000010_2\)

Добавление единицы:

\(01011000011_2\)

Поэтому 16-ричное представление числа -1341 будет 0x543.

Теперь перейдем к восстановлению чисел в 10-ричной форме из их 16-ричного представления в ячейке размером 2 байта.

Для этого мы должны выполнить обратные операции, которые мы рассматривали выше. Преобразуем каждый шестнадцатеричный символ в двоичное представление и объединим их в одну строку. Затем мы переведем полученное двоичное число в 10-ричную форму и применим дополнительный код, если это отрицательное число.

Например, для числа 0x4BE:

\(4BE_{16} = 01001011110_2\)

Теперь, если старший бит равен 0, это будет положительное число и можно сразу перевести его в 10-ричную форму:

\(01001011110_2 = 593_{10}\)

Аналогично для числа 0x543:

\(543_{16} = 01011000011_2\)

Теперь, если старший бит равен 1, это будет отрицательное число. Применим дополнительный код, инвертируем все биты и добавим единицу:

\(01011000011_2\) (инвертирование всех битов и добавление единицы) = \(10100111101_2 = -1341_{10}\)

Далее, чтобы получить представление числа -1450 и -1341 в формате числа с плавающей точкой, мы должны использовать стандарт IEEE 754 для чисел одинарной точности (32 бита).

Формат числа с плавающей точкой IEEE 754 включает знак (1 бит), экспоненту (8 бит) и мантиссу (23 бита).

Преобразуем -1450 в двоичное представление и разделим его на знак, экспоненту и мантиссу.

Знак: 1 (так как число отрицательное)
Экспонента: В формате IEEE 754 для чисел одинарной точности экспонента кодируется с использованием смещенного представления. Необходимо добавить смещение к истинной экспоненте, чтобы получить представление в формате с плавающей точкой. Смещение для чисел одинарной точности равно 127. Истинная экспонента для -1450 равна 10. Добавив смещение, получим экспоненту в бинарном виде 137:
\(137_{10} = 10001001_2\)
Мантисса: Для нахождения мантиссы нам нужно представить -1450 в нормализованном виде с использованием научной нотации. В научной нотации -1450 можно записать как -1.45 x 10^3. Нам нужно представить -1.45 в двоичном виде. Для этого разделим его на 2 в степени 2. Получаем:
\(-1.45 = -101.110_2\)
Мы можем представить эту дробь как \(0.101110_2 \times 2^2\) (10^-1.45 = 2^(-1.45)).
Теперь возьмем только дробную часть, отбросив целую часть. Получаем:
\(0.101110_2\)
Поскольку формат IEEE 754 требует нормализованные числа с дополнительным 1 перед дробной частью, мы можем добавить нули перед дробной частью:
\(0.0101110_2\)
Теперь у нас есть мантисса числа -1450 в формате с плавающей точкой.

Комбинируем знак, экспоненту и мантиссу вместе и получаем представление числа -1450 в формате числа с плавающей точкой:
\(1 \ 10001001 \ 0.0101110\) (знак \ экспонента \ мантисса).

Аналогично мы можем получить представление числа -1341 в формате числа с плавающей точкой:

Знак: 1
Экспонента: Для числа -1341 истинная экспонента равна 10. Добавим смещение:
\(137_{10} = 10001001_2\)
Мантисса: Представим -1341 в научной нотации: -1.341 x 10^3. Получаем:
\(-1.341 = -1.010011_2\)
Мантисса после отбрасывания целой части и добавления нулей:
\(0.010011_2\)

Теперь объединим знак, экспоненту и мантиссу, чтобы получить представление числа -1341 в формате числа с плавающей точкой:
\(1 \ 10001001 \ 0.010011\) (знак \ экспонента \ мантисса).

Наконец, чтобы записать число 48,025 в двоичной форме в формате числа с плавающей точкой, мы должны использовать формат IEEE 754.

Определим знак: 0 (положительное число).

Экспонента: Число 48,025 можно записать в научной нотации как 4.8025 x 10^1. Теперь представим 4.8025 в двоичной форме. Поделим его на 2 в степени 1 и получим:
\(4.8025 = 100.11010_2\)
Мы можем представить это число как \(0.10011010_2 \times 2^2\) (10^1 = 2^1).
Возьмем дробную часть и добавим нули перед ней:
\(0.010011010_2\)

Мантисса: Получили мантиссу числа 48,025 в нормализованном виде.

Объединим знак, экспоненту и мантиссу и получим представление числа 48,025 в формате числа с плавающей точкой:
\(0 \ 10000010 \ 0.010011010\) (знак \ экспонента \ мантисса).

Таким образом, мы рассмотрели, как получить 16-ричное представление, восстановить число в 10-ричной форме и получить представление чисел с плавающей точкой для заданных чисел.