Как переформулирование и изменение неравенства log4(6-6x) > = log4(x^2-5x+4) - log4(x+3)?

Хорошо, разберемся с задачей по шагам.

Шаг 1: Уберем логарифм в правой части неравенства с помощью свойства логарифмов \(\log a - \log b = \log \frac{a}{b}\):

\[\log_4(6-6x) \geq \log_4\left(\frac{x^2-5x+4}{x+3}\right) \]

Шаг 2: Применим свойство логарифмов \(\log_a b^c = c\log_a b\) для обеих сторон неравенства:

\[6 - 6x \geq \frac{x^2-5x+4}{x+3}\]

Шаг 3: Упростим правую часть неравенства, раскрыв скобки и сократив подобные члены:

\[6 - 6x \geq \frac{(x-1)(x-4)}{x+3}\]

Шаг 4: Устраняем дробь от перебора условий. Будем рассматривать два случая: \(x+3 > 0\) и \(x+3 < 0\).

Случай 1: \(x+3 > 0\). В этом случае сохраняем знак неравенства.

\[6 - 6x \geq \frac{(x-1)(x-4)}{x+3}\]

Шаг 5: Умножим обе части неравенства на \(x+3\) (положительное число):

\[(6-6x)(x+3) \geq (x-1)(x-4)\]

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим, объединив все члены в одно уравнение:

\[18 - 18x + 6x + 18 \geq x^2 - 5x - 4x + 4\]

\[22 - 12x \geq x^2 - 9x + 4\]

Шаг 7: Перенесем все члены в одну сторону:

\[0 \geq x^2 - 3x - 18\]

Шаг 8: Решим полученное квадратное уравнение методом дискриминанта. Найдем корни уравнения \(x^2 - 3x - 18 = 0\):

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\]

\[x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

Шаг 9: Построим таблицу знаков. Для этого обратим внимание на знаки перед \(x^2 - 3x - 18\) в каждом интервале:

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & x^2 - 3x - 18 & Знак\\
\hline
(-\infty, 6) & + & \\
\hline
(6, +\infty) & - & \\
\hline
\end{array}\)

Шаг 10: Подведем итоги. Решение исходного неравенства состоит из интервала \((- \infty, 6]\), так как в этом интервале неравенство выполняется.

Итак, переформулированное и измененное неравенство выглядит так:

\[x \leq 6\]