Как определить значения x, удовлетворяющие неравенству 13–5·3^x / (9^x–12·3^x+27) ≥ 0.5 (^-степень)?

Данное неравенство содержит неизвестное значение x и неравенство выражено с помощью математических операций. Для решения данной задачи нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Упростить неравенство
Начнем с упрощения данного неравенства. Умножим обе части неравенства на знаменатель (9^x – 12·3^x + 27):

(13 – 5·3^x) ≥ 0.5·(9^x – 12·3^x + 27)

Раскроем скобки:

13 – 5·3^x ≥ 0.5·9^x – 0.5·12·3^x + 0.5·27

13 – 5·3^x ≥ 0.5·9^x – 6·3^x + 13.5

Шаг 2: Упростить выражение
Упростим выражение, собирая все слагаемые справа и слева:

13 – 13.5 ≥ 0.5·9^x – 6·3^x + 5·3^x

-0.5 ≥ 0.5·9^x – 1·3^x

Шаг 3: Подготовка неравенства к решению
Для удобства решения данного неравенства перенесем все слагаемые влево и добавим ноль:

0 ≥ 0.5·9^x – 1·3^x + 0.5

Шаг 4: Приведение подобных слагаемых
Распишем каждый множитель в отдельности:

0 ≥ 0.5·(3^2)^x – 1·3^x + 0.5

По закону степеней:

0 ≥ 0.5·3^(2x) – 1·3^x + 0.5

Шаг 5: Используем замену переменной
Введем новую переменную t = 3^x. После замены получим:

0 ≥ 0.5·t^2 – t + 0.5

Оставшееся уравнение:

0.5·t^2 – t + 0.5 ≤ 0

Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Для решения квадратного уравнения второй степени можно использовать метод дискриминанта или график функции. Здесь мы воспользуемся методом графика.

Построим график функции f(t) = 0.5·t^2 – t + 0.5 и найдем значения t, для которых f(t) ≤ 0.

Из графика видно, что когда график функции проходит или находится ниже оси Ox (y = 0), то значение t удовлетворяет условию f(t) ≤ 0.

Шаг 7: Нахождение корней квадратного уравнения
Проведя анализ графика, мы видим, что уравнение f(t) = 0.5·t^2 – t + 0.5 = 0 имеет два корня, которые можно найти с помощью квадратного трехчлена или графически.

Значит, мы ищем два значения t, при которых f(t) = 0. Согласно графику, эти значения находятся примерно в диапазоне: 0 ≤ t ≤ 2.

Шаг 8: Нахождение значений x
Так как мы ввели t = 3^x, то для нахождения значения x необходимо решить уравнения:

3^x = t₁

или

3^x = t₂

где t₁ и t₂ - найденные значения t на шаге 7.

Возведя оба уравнения в степень log₃, получим:

x = log₃(t₁)

или

x = log₃(t₂)

Шаг 9: Запишем окончательный ответ
Таким образом, для нашего исходного неравенства найдены значения x, удовлетворяющие условию. Их можно записать как:

x₁ = log₃(t₁)

или

x₂ = log₃(t₂)

Где x₁ и x₂ - найденные значения x, а t₁ и t₂ - значения t, удовлетворяющие условию f(t) ≤ 0.