Как найти значение n и сумму Sn в геометрической прогрессии (bn), если: b1 = 120, bn = 3.75, n = 6; 2) b1 = 0.02

Хорошо, давайте решим эту задачу по порядку.

1) Значение \( n \) и сумму \( S_n \) в геометрической прогрессии (с обозначением \( b_n \)) можно найти, используя формулы для геометрической прогрессии.

Формула для \( b_n \) в геометрической прогрессии записывается следующим образом:

\[ b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)} \]

Где:
\( b_n \) - n-й член геометрической прогрессии,
\( b_1 \) - первый член геометрической прогрессии,
\( r \) - знаменатель прогрессии,
\( n \) - номер члена прогрессии.

Теперь подставим известные значения в формулу и найдем \( r \):

\[ b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)} \]

Заменяем известные значения: \( b_1 = 120 \), \( b_n = 3.75 \), \( n = 6 \):

\[ 3.75 = 120 \cdot r^{(6-1)} \]

Упростим формулу:

\[ \frac{3.75}{120} = r^5 \]

Делим обе части на 120:

\[ \frac{3.75}{120} \approx 0.03125 = r^5 \]

Теперь найдем значение \( r \), взяв пятый корень из обеих сторон:

\[ r \approx \sqrt[5]{0.03125} \approx 0.5 \]

Теперь у нас есть значение \( r \). Чтобы найти значение \( n \), будем использовать формулу:

\[ b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)} \]

Заменяем известные значения: \( b_1 = 120 \), \( b_n = 3.75 \), \( r \approx 0.5 \):

\[ 3.75 = 120 \cdot 0.5^{(n-1)} \]

Решим это уравнение для \( n \):

\[ \frac{3.75}{120} = 0.5^{(n-1)} \]

Упростим это уравнение:

\[ 0.03125 = 0.5^{(n-1)} \]

Теперь возьмем логарифм с двоичным основанием от обеих сторон, чтобы избавиться от степени:

\[ \log_2{0.03125} = \log_2{0.5^{(n-1)}} \]

\[ -4.97 \approx (n-1) \]

\[ n-1 \approx -4.97 \]

\[ n \approx -4.97 + 1 \]

\[ n \approx -3.97 \]

Значение \( n \) не может быть отрицательным, поэтому в данной геометрической прогрессии отсутствует такой член, который соответствовал бы \( b_n = 3.75 \).

Теперь, чтобы найти сумму \( S_n \) геометрической прогрессии, используем формулу:

\[ S_n = b_1 \cdot \frac{{(r^n - 1)}}{{(r - 1)}} \]

Подставим известные значения: \( b_1 = 120 \), \( n = 6 \), \( r \approx 0.5 \):

\[ S_6 = 120 \cdot \frac{{(0.5^6 - 1)}}{{(0.5 - 1)}} \]

\[ S_6 = 120 \cdot \frac{{(0.015625 - 1)}}{{(-0.5)}} \]

\[ S_6 = 120 \cdot \frac{{-0.984375}}{{-0.5}} \]

\[ S_6 \approx 240 \]

Таким образом, значение \( n \) не имеет смысла в данной геометрической прогрессии, и сумма \( S_6 \) равна около 240.