Как найти решение уравнения cos^2 x - 2cos 7x cos x + 1

Хорошо, давайте разберемся, как найти решение уравнения \(\cos^2x - 2\cos7x\cos x + 1\).

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду.
В данном уравнении мы имеем квадрат косинуса, поэтому можно воспользоваться формулой двойного угла для косинуса: \(\cos 2\theta = 2 \cos^2\theta - 1\).

Применяя эту формулу, можем переписать наше уравнение следующим образом:
\(\cos^2x - 2\cos7x\cos x + 1 = \cos^2x - \cos2(7x - x) + 1 = \cos^2x - \cos 12x + 1\).

Шаг 2: Используем формулу разности косинусов.
Для этого преобразуем уравнение:
\(\cos^2x - \cos 12x + 1 = \cos^2x - (\cos(6x + 6x)) + 1 = \cos^2x - (\cos6x\cos6x - \sin6x\sin6x) + 1 = \cos^2x - \cos^26x + \sin^26x + 1\).

Шаг 3: Применяем формулу суммы квадратов.
Выразим синус через косинус:
\(\cos^2x - \cos^26x + \sin^26x + 1 = \cos^2x + (1 - \cos^26x) + 1 = 2 - \cos^26x + \cos^2x\).

Шаг 4: Приведем уравнение к одной переменной.
Помним, что \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\), поэтому можем преобразовать уравнение:
\(2 - \cos^26x + \cos^2x = 2 - \cos^26x + \sin^2x = 2 - \cos^26x + (1 - \cos^2x)\).

Шаг 5: Упростим уравнение.
Теперь можем объединить все члены:
\(2 - \cos^26x + (1 - \cos^2x) = 3 - \cos^2x - \cos^26x = 3 - (\cos^2x + \cos^26x)\).

Шаг 6: Используем формулу суммы косинусов.
\(\cos^2x + \cos^26x = \cos^2x + (\cos^26x - \sin^26x) = \cos^2x + \cos^26x - (1 - \cos^26x) = \cos^2x + 2\cos^26x - 1\).

Шаг 7: Подставим обратно в уравнение.
Теперь можем вернуться к нашему уравнению:
\(3 - (\cos^2x + \cos^26x) = 3 - (\cos^2x + 2\cos^26x - 1) = 4 - \cos^2x - 2\cos^26x\).

Шаг 8: Приводим уравнение к более простому виду.
Как видим, теперь у нас возникло уравнение, содержащее только косинусы: \(4 - \cos^2x - 2\cos^26x\).

Шаг 9: Решаем уравнение.
Уравнение стало гораздо проще, теперь мы можем решить его. Для этого можно воспользоваться разложением косинуса суммы:
\(4 - \cos^2x - 2\cos^26x = 4 - (\cos^2x + \cos^26x) - \cos^26x\).
Используя формулу \(2\cos a\cos b = \cos(a - b) + \cos(a + b)\), можем переписать это выражение:
\(4 - (\cos x + \cos 6x)(\cos x - \cos 6x) - \cos^26x = 4 - \cos7x\cos x + \cos^27x - \cos^26x\).

Конечный ответ:
После всех этих преобразований получаем, что исходное уравнение \(\cos^2x - 2\cos7x\cos x + 1\) равно \(4 - \cos7x\cos x + \cos^27x - \cos^26x\).

Надеюсь, эта подробная пошаговая информация помогает вам понять, как найти решение такой задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.