Как найти производную первого порядка функции у=у(х), заданной неявно

Question

Математика: Как найти производную первого порядка функции у=у(х), заданной неявно уравнением y+x=arctg(xy)?

Чайный_Дракон · Accepted Answer

Для нахождения производной первого порядка функции, заданной неявным уравнением, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования неявных функций. Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение в явном виде: y + x = arctg(xy).

2. Продифференцируем обе части уравнения по переменной x.
d(y + x)/dx = d(arctg(xy))/dx.

3. Применим правило дифференцирования для суммы слагаемых:
dy/dx + 1 = d(arctg(xy))/dx.

4. Дифференцируем арктангенс композиции двух функций с использованием цепного правила:
dy/dx + 1 = (1/(1 + (xy)^2)) * (d(xy)/dx).

5. Рассчитаем производные композиции функций:
dy/dx + 1 = (1/(1 + (xy)^2)) * (xdy/dx + y).

6. Упростим уравнение:
dy/dx + 1 = (xdy/dx + y)/(1 + (xy)^2).

7. Перенесем dy/dx на одну сторону уравнения:
dy/dx - (xydy/dx) = y - (xy)^2y.

8. Факторизуем dy/dx:
(1 - xy) * dy/dx = y - (xy)^2y.

9. Выразим dy/dx:
dy/dx = (y - (xy)^2y)/(1 - xy).

Таким образом, мы нашли производную первого порядка функции y по x, заданной неявно уравнением y + x = arctg(xy). Если у вас возникнут вопросы или потребуется дополнительное объяснение, не стесняйтесь задавать.

Как найти производную первого порядка функции у=у(х), заданной неявно уравнением y+x=arctg(xy)?

Чайный_Дракон

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!