Как найти оптимальное положение железнодорожной станции, чтобы минимизировать затраты на строительство дорог, если

Чтобы найти оптимальное положение железнодорожной станции с минимальными затратами на строительство дорог, мы можем использовать метод суммы наименьших квадратов. Давайте разберемся пошагово!

1. Определим местоположение станции как $x$ (измеряемое в километрах) от заданной точки отсчета.

2. Введем переменные $a$, $b$ и $c$, представляющие расстояния (в километрах) от станции до населенных пунктов A, B и C соответственно.

3. Используем средние затраты на строительство 1 км автомобильной дороги до каждого населенного пункта, чтобы определить затраты на строительство дороги от станции до каждого населенного пункта:

Затраты на дорогу до населенного пункта A: $z_a=530\cdot a$

Затраты на дорогу до населенного пункта B: $z_b=180\cdot b$

Затраты на дорогу до населенного пункта C: $z_c=940\cdot c$

4. Получаем общие затраты на строительство дороги:

Общие затраты = Затраты на дорогу до населенного пункта A + Затраты на дорогу до населенного пункта B + Затраты на дорогу до населенного пункта C:
$$C=z_a+z_b+z_c=530a+180b+940c$$

5. Теперь нам нужно минимизировать общие затраты $C$ путем нахождения оптимальных значений $a$, $b$ и $c$.

6. Для этого возьмем частные производные от $C$ по $a$, $b$ и $c$ и приравняем их к нулю:

$\frac{dC}{da}=530=0$

$\frac{dC}{db}=180=0$

$\frac{dC}{dc}=940=0$

7. решая эти уравнения, мы получаем $a=0$, $b=0$ и $c=0$.

8. Таким образом, оптимальное положение железнодорожной станции находится в точке с расстояниями $a=0$ км от населенного пункта A, $b=0$ км от населенного пункта B и $c=0$ км от населенного пункта C.

Получается, что оптимальное положение железнодорожной станции находится в точке, где все расстояния равны нулю.