Как найти оптимальное положение железнодорожной станции, чтобы минимизировать затраты на строительство дорог, если

Чтобы найти оптимальное положение железнодорожной станции с минимальными затратами на строительство дорог, мы можем использовать метод суммы наименьших квадратов. Давайте разберемся пошагово!

1. Определим местоположение станции как \(x\) (измеряемое в километрах) от заданной точки отсчета.

2. Введем переменные \(a\), \(b\) и \(c\), представляющие расстояния (в километрах) от станции до населенных пунктов A, B и C соответственно.

3. Используем средние затраты на строительство 1 км автомобильной дороги до каждого населенного пункта, чтобы определить затраты на строительство дороги от станции до каждого населенного пункта:

Затраты на дорогу до населенного пункта A: \(z_a = 530 \cdot a\)

Затраты на дорогу до населенного пункта B: \(z_b = 180 \cdot b\)

Затраты на дорогу до населенного пункта C: \(z_c = 940 \cdot c\)

4. Получаем общие затраты на строительство дороги:

Общие затраты = Затраты на дорогу до населенного пункта A + Затраты на дорогу до населенного пункта B + Затраты на дорогу до населенного пункта C:
\[C = z_a + z_b + z_c = 530a + 180b + 940c\]

5. Теперь нам нужно минимизировать общие затраты \(C\) путем нахождения оптимальных значений \(a\), \(b\) и \(c\).

6. Для этого возьмем частные производные от \(C\) по \(a\), \(b\) и \(c\) и приравняем их к нулю:

\(\frac{{dC}}{{da}} = 530 = 0\)

\(\frac{{dC}}{{db}} = 180 = 0\)

\(\frac{{dC}}{{dc}} = 940 = 0\)

7. решая эти уравнения, мы получаем \(a = 0\), \(b = 0\) и \(c = 0\).

8. Таким образом, оптимальное положение железнодорожной станции находится в точке с расстояниями \(a = 0\) км от населенного пункта A, \(b = 0\) км от населенного пункта B и \(c = 0\) км от населенного пункта C.

Получается, что оптимальное положение железнодорожной станции находится в точке, где все расстояния равны нулю.