Как найти мнимую полуось гиперболы уравнения -x2+9y2-18x-90=0?

Хорошо, чтобы найти мнимую полуось гиперболы, нам понадобится привести уравнение гиперболы к стандартному виду. Уравнение гиперболы обычно имеет вид \(\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\), где точка \((h, k)\) - центр гиперболы.

Начнем с данного уравнения: \(-x^2 + 9y^2 - 18x - 90 = 0\)

Для начала переместим все члены на левую сторону и упорядочим их:
\(-x^2 - 18x + 9y^2 = 90\)

Далее, для завершения квадратов, разделим уравнение на -1 и сгруппируем x-термы:
\(x^2 + 18x - 9y^2 = -90\)

Теперь добавим необходимые комплетирующие квадраты, чтобы превратить это уравнение в стандартную форму гиперболы:
\(x^2 + 18x + 81 - 9y^2 = - 90 + 81\)

Упростим полученное выражение:
\((x + 9)^2 - 9y^2 = -9\)

Далее, мы хотим привести уравнение к стандартному виду \(\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\):

\(\frac{{(x + 9)^2}}{{3^2}} - \frac{{(y - 0)^2}}{{1^2}} = 1\)

Теперь мы видим, что центр гиперболы находится в точке (-9, 0). Мы можем наблюдать, что \(a = 3\) и \(b = 1\), где \(a\) представляет собой длину полуоси гиперболы вдоль оси x, а \(b\) - длину полуоси гиперболы вдоль оси y.

Мнимая полуось гиперболы определяется как \(c = \sqrt{{a^2 + b^2}}\), где \(c\) - длина мнимой полуоси.

Подставляем значения \(a = 3\) и \(b = 1\) в формулу и вычисляем:

\(c = \sqrt{{3^2 + 1^2}} = \sqrt{{9 + 1}} = \sqrt{{10}}\)

Таким образом, мнимая полуось гиперболы уравнения -x^2 + 9y^2 - 18x - 90 = 0 равна \(\sqrt{{10}}\).