Как долго потребуется клиенту, чтобы увеличить сумму вклада в два раза, если годовая процентная ставка составляет

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для сложных процентов с ежегодной капитализацией:

\[A = P \times (1 + \frac{r}{n})^{nt}\]

Где:
- A - конечная сумма (двойная сумма вклада)
- P - начальная сумма (исходная сумма вклада)
- r - годовая процентная ставка (в данном случае 0.11 или 11%)
- n - количество периодов, в течение которых происходит капитализация процентов (в данном случае 1, так как проценты начисляются и капитализируются ежегодно)
- t - количество лет, в течение которых происходит инвестирование (мы не знаем это значение)

Мы хотим найти значение t, время, которое требуется клиенту, чтобы увеличить сумму вклада в два раза, поэтому конечную сумму A мы можем записать как 2P:

\[2P = P \times (1 + \frac{r}{n})^{nt}\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение t. Давайте приведем его к более удобному виду:

\[2 = (1 + \frac{0.11}{1})^{1 \cdot t}\]

Мы знаем, что \((1 + \frac{0.11}{1})\) равно 1.11, поэтому уравнение примет следующий вид:

\[2 = (1.11)^t\]

Чтобы избавиться от экспоненты, мы можем взять логарифм от обеих частей уравнения:

\[\log(2) = \log((1.11)^t)\]

Используя свойства логарифмов, мы видим, что это эквивалентно:

\[\log(2) = t \cdot \log(1.11)\]

Теперь мы можем решить это уравнение, подставив значения:

\[t = \frac{\log(2)}{\log(1.11)}\]

После вычислений мы получим:

\[t \approx 6.81\]

Таким образом, клиенту потребуется около 6.81 лет, чтобы увеличить сумму вклада в два раза при годовой процентной ставке 11% и ежегодной капитализации процентов.