Как бы изменилась первая космическая скорость при увеличении массы планеты в 9 раз?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать законы сохранения импульса и момента импульса в системе.

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, которую должен развить космический корабль, чтобы покинуть планету. Она определяется как минимальная скорость, при которой корабль может преодолеть гравитационное притяжение планеты.

Поскольку мы предполагаем, что масса планеты увеличивается в 9 раз, обозначим исходную массу планеты как \(m_1\), а новую массу планеты - как \(m_2\). Давайте рассмотрим эти законы более подробно.

1. Закон сохранения импульса:

Импульс системы останется постоянным до и после изменения массы планеты. Формула для импульса может быть записана как: \[P = m_1v_1 = m_2v_2\]

где
\(P\) - импульс,
\(m_1\) - исходная масса планеты,
\(v_1\) - исходная первая космическая скорость,
\(m_2\) - новая масса планеты,
\(v_2\) - новая первая космическая скорость.

2. Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса системы останется постоянным до и после изменения массы планеты. Момент импульса планеты можно выразить как: \[L = m_1r_1v_1\]

где
\(L\) - момент импульса,
\(r_1\) - радиус планеты (постоянный параметр).

После изменения массы планеты момент импульса станет: \[L = m_2r_2v_2\]

где
\(r_2\) - новый радиус планеты.

Теперь используем эти два закона для решения задачи:

Используя закон сохранения импульса, можем записать: \[m_1v_1 = m_2v_2\]

Используя закон сохранения момента импульса, можем записать: \[m_1r_1v_1 = m_2r_2v_2\]

Для решения задачи нам не нужно знать конкретные значения массы или радиуса планеты, поэтому давайте рассмотрим изменения массы планеты в 9 раз. Тогда уравнения примут следующий вид:

\[v_1 = 9v_2\]
\[r_1v_1 = 9r_2v_2\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно \(v_2\), чтобы найти новую первую космическую скорость.

Разделим первое уравнение на 9:
\[\frac{{v_1}}{9} = v_2\]

Подставим это значение во второе уравнение:
\[r_1v_1 = 9r_2\left(\frac{{v_1}}{9}\right)\]

Упростим уравнение:
\[r_1v_1 = r_2v_1\]

Окончательно, убираем \(v_1\) с обеих сторон уравнения:
\[r_1 = r_2\]

Отсюда видно, что при увеличении массы планеты в 9 раз, первая космическая скорость останется неизменной, а радиус планеты также останется неизменным.

Таким образом, первая космическая скорость не зависит от массы планеты. Выходит, что при его увеличении в 9 раз, первая космическая скорость не изменится.