Известно, что в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 4√11, AD = 7, 1 AA1=10. Требуется найти тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1, где K – точка, которая делит ребро BB1 в отношении 2:3, считая от точки K.
Артем
Перед тем, как решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим и проанализируем предоставленную информацию.
У нас есть прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где AB = 4√11, AD = 7 и AA1 = 10. Точка K делит ребро BB1 в отношении 2:3, считая от точки B.
Наша задача состоит в нахождении тангенса угла между плоскостью ABC и прямой KD1. Чтобы решить эту задачу, мы должны выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти координаты точек A, B, C и D.
Шаг 2: Найти координаты точки K.
Шаг 3: Найти векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).
Шаг 4: Найти векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AD}\) для получения нормали плоскости ABC.
Шаг 5: Найти координаты точек K и D1.
Шаг 6: Найти вектор \(\vec{KD1}\).
Шаг 7: Найти скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{KD1}\).
Шаг 8: Найти модуль векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{KD1}\).
Шаг 9: Вычислить тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1.
Давайте начнем с первого шага и поочередно решим каждый из них.
Шаг 1: Найдем координаты точек A, B, C и D.
Возьмем точку A как начало координат. Тогда координаты точек B и D будут (4√11, 0, 0) и (0, 0, 7) соответственно. Зная, что AA1 = 10, координаты точки A1 будут (0, 10, 0). Теперь нам нужно найти координаты точки C1, применив формулу вектора смещения. Так как AB и A1D1 являются диагоналями параллелограмма, мы можем утверждать, что AB и A1C1 параллельны. Поэтому, если вектор AB \( (4\sqrt{11}, 0, 0) \), тогда вектор A1C1 будет таким же: \( (4\sqrt{11}, 0, 0) \). Но мы также знаем, что вектор AD \( (0, 0, 7) \). Следовательно, координаты точки C1 будут \( (4\sqrt{11}, 0, 7) \).
Таким образом, координаты точек A, B, C и D:
A(0, 0, 0), B(4√11, 0, 0), C(4√11, 0, 7), D(0, 0, 7).
Шаг 2: Найдем координаты точки K.
По условию, точка K делит ребро BB1 в отношении 2:3, считая от точки B. Это означает, что расстояние между точкой B и точкой K будет составлять 2/5 от длины ребра BB1.
Длина ребра BB1 можно найти, используя координаты точек B и B1:
BB1 = \(\sqrt{(4\sqrt{11} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 10)^2}\) = \(\sqrt{176 + 100}\) = \(\sqrt{276}\) = 2√69.
Тогда расстояние между точкой B и точкой K будет составлять (2/5) × 2√69 = (4/5)√69.
Координаты точки K будут такими: \( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{\vec{BB1}}{|\vec{BB1}|} \).
Вычислим это:
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{(4\sqrt{11}, 0, 7) - (4\sqrt{11}, 0, 0)}{|(4\sqrt{11}, 0, 7) - (4\sqrt{11}, 0, 0)|} \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{(0, 0, 7)}{\sqrt{7^2}} \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{(0, 0, 7)}{7} \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot (0, 0, 1) \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + (0, 0, \frac{4}{5}\sqrt{69}) \).
\( (4\sqrt{11}, 0, \frac{4}{5}\sqrt{69}) \).
Таким образом, координаты точки K: K(4√11, 0, (4/5)√69).
Шаг 3: Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).
Вектор \(\vec{AB}\) будет равен (\(4\sqrt{11} - 0\), 0 - 0, 0 - 0) = (\(4\sqrt{11}\), 0, 0).
Вектор \(\vec{AD}\) будет равен (0 - 0, 0 - 0, 7 - 0) = (0, 0, 7).
Шаг 4: Найдем векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AD}\).
\(\vec{AB} \times \vec{AD}\) = \(\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
4\sqrt{11} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{vmatrix}\) = (0, -28\sqrt{11}, 0).
Таким образом, мы получили вектор нормали плоскости ABC равный (0, -28√11, 0).
Шаг 5: Найдем координаты точек K и D1.
Мы уже нашли координаты точки K в шаге 2: K(4√11, 0, (4/5)√69).
Чтобы найти координаты точки D1, мы должны учесть, что KD1 делит ребро DD1 в том же отношении 2:3, как и ребро BB1.
Длина ребра DD1 равна AD, что равно 7.
Тогда расстояние между точкой D и точкой D1 будет составлять (2/5) × 7 = (14/5).
Координаты точки D1 будут такими: \( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{\vec{DD1}}{|\vec{DD1}|} \).
Вычислим это:
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{(0, 10, 0) - (0, 0, 7)}{|(0, 10, 0) - (0, 0, 7)|} \).
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{(0, 10, 0)}{\sqrt{10^2}} \).
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{(0, 10, 0)}{10} \).
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot (0, 1, 0) \).
\( (0, 0, 7) + (0, \frac{14}{5}, 0) \).
\( (0, \frac{14}{5}, 7) \).
Таким образом, координаты точек D1: D1(0, (14/5), 7).
Шаг 6: Найдем вектор \(\vec{KD1}\).
Вектор \(\vec{KD1}\) будет равен \((0, \frac{14}{5} - 0, (4/5)\sqrt{69}-7) \).
Таким образом, вектор \(\vec{KD1}\) будет \((0, \frac{14}{5}, (4/5)\sqrt{69}-7)\).
Шаг 7: Найдем скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{KD1}\).
\(\vec{AB} \cdot \vec{KD1}\) = \( (4\sqrt{11}, 0, 0) \cdot (0, \frac{14}{5}, \frac{4}{5}\sqrt{69}-7) \).
\( 4\sqrt{11} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{14}{5} + 0 \cdot (\frac{4}{5}\sqrt{69}-7) \).
\( 0 + 0 + 0 \).
\( 0 \).
Шаг 8: Найдем модуль векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{KD1}\).
Модуль вектора \(\vec{AB}\) равен \(\sqrt{(4\sqrt{11})^2 + 0^2 + 0^2}\) = \(4\sqrt{11}\).
Модуль вектора \(\vec{KD1}\) равен \(\sqrt{0^2 + (\frac{14}{5})^2 + (\frac{4}{5}\sqrt{69}-7)^2} \).
Раскроем квадраты:
\(\sqrt{\frac{196}{25} + \frac{16}{25}\cdot69 - \frac{56}{5}\sqrt{69} + 49} \).
\(\sqrt{\frac{196}{25} + \frac{16}{25}\cdot69 + 49 - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
\(\sqrt{\frac{196}{25} + \frac{1104}{25} + 49 - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
\(\sqrt{\frac{1400}{25} - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
\(\sqrt{56 - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
Таким образом, модуль вектора \(\vec{AB}\) равен \(4\sqrt{11}\), а модуль вектора \(\vec{KD1}\) равен \(\sqrt{56 - \frac{56}{5}\sqrt{69}}\).
Шаг 9: Вычислим тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1.
Тангенс угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (по определению скалярного произведения):
\(\tan(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{KD1}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{KD1}|}\).
Подставим значения:
\(\tan(\alpha) = \frac{0}{4\sqrt{11} \cdot \sqrt{56 - \frac{56}{5}\sqrt{69}}}\).
Так как скалярное произведение равно нулю, получаем:
\(\tan(\alpha) = 0\).
Тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1 равен 0.
Итак, тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1 равен 0.
Я пошагово продемонстрировал решение этой задачи, чтобы сделать его понятным для школьников. Если у вас остались какие-либо вопросы или вам нужна дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!
У нас есть прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где AB = 4√11, AD = 7 и AA1 = 10. Точка K делит ребро BB1 в отношении 2:3, считая от точки B.
Наша задача состоит в нахождении тангенса угла между плоскостью ABC и прямой KD1. Чтобы решить эту задачу, мы должны выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти координаты точек A, B, C и D.
Шаг 2: Найти координаты точки K.
Шаг 3: Найти векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).
Шаг 4: Найти векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AD}\) для получения нормали плоскости ABC.
Шаг 5: Найти координаты точек K и D1.
Шаг 6: Найти вектор \(\vec{KD1}\).
Шаг 7: Найти скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{KD1}\).
Шаг 8: Найти модуль векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{KD1}\).
Шаг 9: Вычислить тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1.
Давайте начнем с первого шага и поочередно решим каждый из них.
Шаг 1: Найдем координаты точек A, B, C и D.
Возьмем точку A как начало координат. Тогда координаты точек B и D будут (4√11, 0, 0) и (0, 0, 7) соответственно. Зная, что AA1 = 10, координаты точки A1 будут (0, 10, 0). Теперь нам нужно найти координаты точки C1, применив формулу вектора смещения. Так как AB и A1D1 являются диагоналями параллелограмма, мы можем утверждать, что AB и A1C1 параллельны. Поэтому, если вектор AB \( (4\sqrt{11}, 0, 0) \), тогда вектор A1C1 будет таким же: \( (4\sqrt{11}, 0, 0) \). Но мы также знаем, что вектор AD \( (0, 0, 7) \). Следовательно, координаты точки C1 будут \( (4\sqrt{11}, 0, 7) \).
Таким образом, координаты точек A, B, C и D:
A(0, 0, 0), B(4√11, 0, 0), C(4√11, 0, 7), D(0, 0, 7).
Шаг 2: Найдем координаты точки K.
По условию, точка K делит ребро BB1 в отношении 2:3, считая от точки B. Это означает, что расстояние между точкой B и точкой K будет составлять 2/5 от длины ребра BB1.
Длина ребра BB1 можно найти, используя координаты точек B и B1:
BB1 = \(\sqrt{(4\sqrt{11} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 10)^2}\) = \(\sqrt{176 + 100}\) = \(\sqrt{276}\) = 2√69.
Тогда расстояние между точкой B и точкой K будет составлять (2/5) × 2√69 = (4/5)√69.
Координаты точки K будут такими: \( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{\vec{BB1}}{|\vec{BB1}|} \).
Вычислим это:
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{(4\sqrt{11}, 0, 7) - (4\sqrt{11}, 0, 0)}{|(4\sqrt{11}, 0, 7) - (4\sqrt{11}, 0, 0)|} \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{(0, 0, 7)}{\sqrt{7^2}} \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot \frac{(0, 0, 7)}{7} \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + \frac{4}{5}\sqrt{69} \cdot (0, 0, 1) \).
\( (4\sqrt{11}, 0, 0) + (0, 0, \frac{4}{5}\sqrt{69}) \).
\( (4\sqrt{11}, 0, \frac{4}{5}\sqrt{69}) \).
Таким образом, координаты точки K: K(4√11, 0, (4/5)√69).
Шаг 3: Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).
Вектор \(\vec{AB}\) будет равен (\(4\sqrt{11} - 0\), 0 - 0, 0 - 0) = (\(4\sqrt{11}\), 0, 0).
Вектор \(\vec{AD}\) будет равен (0 - 0, 0 - 0, 7 - 0) = (0, 0, 7).
Шаг 4: Найдем векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AD}\).
\(\vec{AB} \times \vec{AD}\) = \(\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
4\sqrt{11} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{vmatrix}\) = (0, -28\sqrt{11}, 0).
Таким образом, мы получили вектор нормали плоскости ABC равный (0, -28√11, 0).
Шаг 5: Найдем координаты точек K и D1.
Мы уже нашли координаты точки K в шаге 2: K(4√11, 0, (4/5)√69).
Чтобы найти координаты точки D1, мы должны учесть, что KD1 делит ребро DD1 в том же отношении 2:3, как и ребро BB1.
Длина ребра DD1 равна AD, что равно 7.
Тогда расстояние между точкой D и точкой D1 будет составлять (2/5) × 7 = (14/5).
Координаты точки D1 будут такими: \( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{\vec{DD1}}{|\vec{DD1}|} \).
Вычислим это:
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{(0, 10, 0) - (0, 0, 7)}{|(0, 10, 0) - (0, 0, 7)|} \).
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{(0, 10, 0)}{\sqrt{10^2}} \).
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot \frac{(0, 10, 0)}{10} \).
\( (0, 0, 7) + \frac{14}{5} \cdot (0, 1, 0) \).
\( (0, 0, 7) + (0, \frac{14}{5}, 0) \).
\( (0, \frac{14}{5}, 7) \).
Таким образом, координаты точек D1: D1(0, (14/5), 7).
Шаг 6: Найдем вектор \(\vec{KD1}\).
Вектор \(\vec{KD1}\) будет равен \((0, \frac{14}{5} - 0, (4/5)\sqrt{69}-7) \).
Таким образом, вектор \(\vec{KD1}\) будет \((0, \frac{14}{5}, (4/5)\sqrt{69}-7)\).
Шаг 7: Найдем скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{KD1}\).
\(\vec{AB} \cdot \vec{KD1}\) = \( (4\sqrt{11}, 0, 0) \cdot (0, \frac{14}{5}, \frac{4}{5}\sqrt{69}-7) \).
\( 4\sqrt{11} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{14}{5} + 0 \cdot (\frac{4}{5}\sqrt{69}-7) \).
\( 0 + 0 + 0 \).
\( 0 \).
Шаг 8: Найдем модуль векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{KD1}\).
Модуль вектора \(\vec{AB}\) равен \(\sqrt{(4\sqrt{11})^2 + 0^2 + 0^2}\) = \(4\sqrt{11}\).
Модуль вектора \(\vec{KD1}\) равен \(\sqrt{0^2 + (\frac{14}{5})^2 + (\frac{4}{5}\sqrt{69}-7)^2} \).
Раскроем квадраты:
\(\sqrt{\frac{196}{25} + \frac{16}{25}\cdot69 - \frac{56}{5}\sqrt{69} + 49} \).
\(\sqrt{\frac{196}{25} + \frac{16}{25}\cdot69 + 49 - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
\(\sqrt{\frac{196}{25} + \frac{1104}{25} + 49 - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
\(\sqrt{\frac{1400}{25} - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
\(\sqrt{56 - \frac{56}{5}\sqrt{69}} \).
Таким образом, модуль вектора \(\vec{AB}\) равен \(4\sqrt{11}\), а модуль вектора \(\vec{KD1}\) равен \(\sqrt{56 - \frac{56}{5}\sqrt{69}}\).
Шаг 9: Вычислим тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1.
Тангенс угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (по определению скалярного произведения):
\(\tan(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{KD1}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{KD1}|}\).
Подставим значения:
\(\tan(\alpha) = \frac{0}{4\sqrt{11} \cdot \sqrt{56 - \frac{56}{5}\sqrt{69}}}\).
Так как скалярное произведение равно нулю, получаем:
\(\tan(\alpha) = 0\).
Тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1 равен 0.
Итак, тангенс угла между плоскостью ABC и прямой KD1 равен 0.
Я пошагово продемонстрировал решение этой задачи, чтобы сделать его понятным для школьников. Если у вас остались какие-либо вопросы или вам нужна дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
