Изобразите на координатной плоскости угол АОВ, полученный поворотом против часовой стрелки подвижного вектора

АВ. Дано, что ОА = 3 и АВ = 4.

Для начала, мы должны построить точку А на координатной плоскости. Пусть точка А будет находиться в начале координат (0,0).

Затем мы должны построить вектор ОА с длиной 3 единицы. Вектор ОА будет направлен вдоль положительной полуоси Х. Таким образом, координаты конечной точки вектора ОА будут (3,0).

Далее, мы должны построить вектор АВ с длиной 4 единицы. Вектор АВ будет начинаться из точки А и будет направлен против часовой стрелки. Для этого, мы должны повернуть вектор ОА на угол, соответствующий вектору АВ.

Для нахождения координат конечной точки вектора АВ, мы можем использовать геометрическую формулу поворота вектора на плоскости.

Для поворота вектора ОА на угол \( \theta \) получаем новые координаты (x", y") с помощью формул:

\[ x" = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta) \]
\[ y" = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta) \]

Нам изначально дано, что вектор ОА имеет координаты (3,0) и вектор АВ имеет длину 4 единицы. Поскольку вектор АВ получается поворотом вектора ОА, мы можем использовать формулы поворота для нахождения координат конечной точки вектора АВ.

Угол поворота можно найти, используя геометрическую теорему косинусов. В нашем случае, длина стороны ОВ противоположная углу, который мы ищем, равна длине стороны АО, то есть 3 единицы. Длина стороны АВ, прилегающей к углу, равна 4 единицы. Третья сторона треугольника (ОАВ) это отрезок ОА соединенный с отрезком АВ, его длина будет равна разности длин сторон АВ и ОВ, то есть 1 единица.

Используя формулу косинуса:

\[ \cos(\theta) = \frac{{3^2 + 4^2 - 1^2}}{{2 \cdot 3 \cdot 4}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{{9 + 16 - 1}}{{24}} = \frac{{24}}{{24}} = 1 \]

Теперь, когда у нас есть значение косинуса угла \( \theta \), мы можем использовать его для нахождения значения синуса угла \( \theta \).

Поскольку угол \( \theta \) отрицательный, мы можем использовать формулу:

\[ \sin(\theta) = -\sqrt{1 - \cos^2(\theta)} \]

\[ \sin(\theta) = -\sqrt{1 - 1^2} \]

\[ \sin(\theta) = 0 \]

Теперь у нас есть значения косинуса и синуса угла \( \theta \), и мы можем использовать формулы поворота для нахождения координат конечной точки вектора АВ.

\[ x" = 3 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 3 \]
\[ y" = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \]

Таким образом, координаты конечной точки вектора АВ равны (3,0).

Теперь мы можем изобразить угол АОВ на координатной плоскости.