Из точек A и B, которые находятся в одной половине плоскости относительно прямой a, проведены перпендикуляры AA1

Давайте рассмотрим данную задачу с шага назад для лучшего понимания.

У нас есть две точки A и B, а также прямая a. Нам нужно найти точку X на прямой a, чтобы сумма расстояний AX и XB была минимальной. Для этого мы можем использовать следующий подход.

1. Построим прямую AB и прямую, проходящую через середину отрезка AB и перпендикулярно прямой AB. Обозначим середину отрезка AB как M, а пересечение этой прямой с прямой a как Y.

2. Так как A1B1 - это высота треугольника ABY, а AA1 и BB1 - это высоты треугольников AYM и BYM соответственно, то треугольники AYM и BYM подобны треугольнику ABY по признаку \(HH\) (высота-высота), так как у них углы напротив соответственных сторон равны.

3. Зная соотношения между сторонами двух подобных треугольников, мы можем записать \(\frac{AY}{AB} = \frac{AA1}{A1B1}\) и \(\frac{BY}{AB} = \frac{BB1}{A1B1}\).

4. Заметим, что \(\frac{AY}{AB} = \frac{BY}{AB}\), так как они оба равны \(\frac{1}{2}\), ведь точка M - середина отрезка AB.

5. Теперь мы можем записать \(\frac{1}{2} = \frac{AA1}{A1B1}\) и \(\frac{1}{2} = \frac{BB1}{A1B1}\).

6. Известно, что \(AA1 = 4 \, \text{см}\), \(BB1 = 2 \, \text{см}\) и \(A1B1 = 3 \, \text{см}\). Подставляя эти значения в уравнения, мы можем найти значения AY и BY.

\(\frac{1}{2} = \frac{4}{3}\) и \(\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\).

Решая эти уравнения, мы получаем \(AY = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \, \text{см}\) и \(BY = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \, \text{см}\).

7. Теперь, чтобы найти наименьшую сумму AX + XB, мы должны найти точку X на прямой a, такую, что AX = AY и XB = BY.

8. Поскольку прямая a проходит через середину отрезка AB, то расстояния AX и XB равны \(\frac{2}{3} \, \text{см}\) и \(\frac{1}{3} \, \text{см}\) соответственно.

9. Значит, наименьшее значение суммы AX + XB будет равно \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \text{см}\).

Итак, наименьшее значение суммы AX + XB равно 1 см, и достигается, когда точка X находится на прямой a, между точками A и B, на расстоянии \(\frac{2}{3}\) см от точки A и \(\frac{1}{3}\) см от точки B.