«Используя измененную модель роста и убывания, найдите время, через которое масса дрожжей в установке достигнет...»

Конечно! Давайте решим задачу, используя измененную модель роста и убывания для нахождения времени, через которое масса дрожжей достигнет определенного значения.

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие данные:
- Масса дрожжей в начальный момент времени, обозначим ее как \( M_0 \).
- Коэффициент роста дрожжей, обозначим его как \( k \).
- Время, через которое масса дрожжей достигнет определенного значения, обозначим его как \( t \).
- Масса дрожжей в момент времени \( t \), обозначим ее как \( M_t \).

Измененная модель роста и убывания формализуется следующим образом:
\[ M_t = M_0 \cdot e^{k \cdot t} \]

Где:
- \( M_t \) - масса дрожжей в момент времени \( t \).
- \( e \) - основание натурального логарифма (приближенное значение \( e \approx 2.71828 \)).

Теперь перейдем к решению задачи. Для начала, нам необходимо определить значения \( M_0 \), \( k \) и искомое значение массы дрожжей \( M_t \).

Допустим, у нас следующие данные:
- \( M_0 = 100 \) грамм (масса дрожжей в начальный момент времени).
- \( k = 0.05 \) (коэффициент роста дрожжей).
- \( M_t = 500 \) грамм (искомое значение массы дрожжей).

Теперь мы можем воспользоваться формулой измененной модели роста и убывания, чтобы найти время \( t \).

\[ M_t = M_0 \cdot e^{k \cdot t} \]

Подставив известные значения, получим:

\[ 500 = 100 \cdot e^{0.05 \cdot t} \]

Чтобы решить это уравнение, нужно изолировать переменную \( t \) в выражении. Для этого разделим обе стороны уравнения на \( 100 \):

\[ \frac{500}{100} = e^{0.05 \cdot t} \]

Упростим выражение:

\[ 5 = e^{0.05 \cdot t} \]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[ \ln(5) = \ln(e^{0.05 \cdot t}) \]

По свойствам натурального логарифма, мы можем переписать выражение в следующем виде:

\[ \ln(5) = 0.05 \cdot t \cdot \ln(e) \]

Используя приближенное значение \( e \approx 2.71828 \), получаем:

\[ \ln(5) = 0.05 \cdot t \cdot 1 \]

Делаем окончательные вычисления:

\[ 0.05129329438755058 = 0.05 \cdot t \]

\[ t = \frac{0.05129329438755058}{0.05} \]

\[ t \approx 1.0258658877510116 \]

Таким образом, время \( t \), через которое масса дрожжей достигнет значения 500 грамм, составляет приблизительно 1.03 единицы времени (в предположении, что единицы времени указаны в задаче).