Имеющийся предприниматель взял кредит на сумму k рублей с годовой процентной ставкой p и инвестировал его в своё дело

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу сложных процентов.

Сумма долга предпринимателя будет увеличиваться каждый год на сумму процентов. На первый год проценты будут составлять \(kp\) рублей. После первого года сумма его долга составит \(k + kp\) рублей.

Далее, поскольку предприниматель инвестирует кредит в своё дело и ожидает прибыль в размере r рублей в год, то после каждого года он будет уменьшать свой долг на сумму прибыли, полученной от своего дела. Таким образом, после второго года сумма долга составит \((k + kp) - r\) рублей.

Мы можем записать это в виде рекуррентной формулы:
\[D_n = (D_{n-1} + D_{n-1}p) - r,\]

где \(D_n\) - сумма долга после n-го года, \(D_{n-1}\) - сумма долга после предыдущего года.

Нашей целью является найти такое значение n, при котором сумма долга станет равна 0, то есть \(D_n = 0\).

Теперь давайте составим таблицу со значениями суммы долга после каждого года и постепенно уменьшим эту сумму до нуля:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Год (n)} & \text{Сумма долга (D)} & \text{Расчёт} \\
\hline
1 & k + kp & - \\
2 & (k + kp) - r + ((k + kp) - r)p & - \\
3 & ((k + kp) - r + ((k + kp) - r)p) - r + (((k + kp) - r + ((k + kp) - r)p) - r)p & - \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
n & D_{n-1} + D_{n-1}p - r & D_n = 0 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы будем повторять вычисления до тех пор, пока сумма долга не станет равной 0. Число n будет являться искомым количеством лет, необходимых для погашения кредита.

Я надеюсь, что это объяснение было понятно. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.