How is the length change determined in a system composed of two springs connected in series, with spring stiffnesses

Задача 1: Определим изменение длины в системе, состоящей из двух пружин, соединенных последовательно, со жесткостями пружин 12000 H/m и 13000 H/m, если алюминиевый блок объемом 25 литров подвешен к нижнему концу этой системы, а верхний конец закреплен на опоре.

Для решения этой задачи, нам потребуется знать закон Гука для пружин, который гласит: сила, действующая на пружину, пропорциональна изменению ее длины. Мы можем записать этот закон в виде уравнения:

\[ F = k \cdot \Delta L \]

где \( F \) - сила, \( k \) - жесткость пружины, \( \Delta L \) - изменение длины пружины.

В этой задаче пружины соединены последовательно, поэтому сила, действующая на обе пружины, будет одинаковой. Также, изменение длины каждой пружины будет одинаковым.

Обозначим изменение длины каждой пружины как \( \Delta L \).

Сила, действующая на первую пружину, равна:

\[ F_1 = k_1 \cdot \Delta L \]

Сила, действующая на вторую пружину, равна:

\[ F_2 = k_2 \cdot \Delta L \]

Так как сила, действующая на обе пружины одинакова, мы можем сравнить эти два выражения:

\[ F_1 = F_2 \]

\[ k_1 \cdot \Delta L = k_2 \cdot \Delta L \]

Отсюда получаем:

\[ \frac{k_1}{k_2} = \frac{\Delta L}{\Delta L} \]

\[ \frac{12000}{13000} = 1 \]

Подставим это значение обратно в уравнения для сил:

\[ F_1 = 12000 \cdot \Delta L \]

\[ F_2 = 13000 \cdot \Delta L \]

Так как сила, действующая на первую пружину, равна силе, действующей на вторую пружину, мы можем записать:

\[ 12000 \cdot \Delta L = 13000 \cdot \Delta L \]

Разделим обе части на \( \Delta L \):

\[ 12000 = 13000 \]

Здесь мы видим, что уравнение явно не выполняется, значит, данная система противоречит условиям задачи. Возможно, в ней допущена ошибка, например, неверно указаны значения жесткостей пружин.

Поэтому, для данной задачи невозможно определить изменение длины системы из двух пружин, соединенных последовательно.

Задача 2: Определим изменение длины в системе, состоящей из двух пружин, соединенных параллельно, с коэффициентами упругости (жесткостями) пружин 72000 H/m и 40000 H/m, если бетонная сфера объемом 45 литров подвешена к нижнему концу этой системы, а верхний конец закреплен на опоре.

В системе, где пружины соединены параллельно, общее изменение длины системы будет равно сумме изменений длин каждой пружины.

Обозначим изменение длины первой пружины как \( \Delta L_1 \), а изменение длины второй пружины как \( \Delta L_2 \).

Сила, действующая на первую пружину, равна:

\[ F_1 = k_1 \cdot \Delta L_1 \]

Сила, действующая на вторую пружину, равна:

\[ F_2 = k_2 \cdot \Delta L_2 \]

Сила, действующая на систему в целом равна сумме сил на каждую пружину:

\[ F = F_1 + F_2 \]

Так как система находится в равновесии, сила, действующая на нее, равна силе тяжести:

\[ F = mg \]

где \( m \) - масса сферы, \( g \) - ускорение свободного падения.

Таким образом, у нас следующие уравнения:

\[ k_1 \cdot \Delta L_1 + k_2 \cdot \Delta L_2 = mg \]

\[ 72000 \cdot \Delta L_1 + 40000 \cdot \Delta L_2 = mg \]

Подставим значения объема сферы и плотности материала, чтобы выразить массу сферы:

\[ m = V \cdot \rho \]

\[ m = 45 \, \text{литров} \cdot \rho \]

Значение плотности \( \rho \) бетона можно найти в таблицах. Подставим данное значение в уравнение:

\[ 72000 \cdot \Delta L_1 + 40000 \cdot \Delta L_2 = 45 \, \text{литров} \cdot \rho \cdot g \]

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\( \Delta L_1 \) и \( \Delta L_2 \)), поэтому мы можем решить эту систему уравнений для определения изменения длины каждой пружины.