Геометрия, векторы, 9 класс В заданном квадрате ABCD выбраны точки X и Y на отрезках BD и BC соответственно. Вектор

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойством скалярного произведения векторов, а именно тем, что если векторы A и B перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Из условия задачи известно, что вектор BX равен 10-кратному вектору BD, а вектор BY равен k-кратному вектору BC. Представим векторы BD и BC как сумму векторов BX и XD, BY и YC соответственно.

Таким образом, имеем:

BD = BX + XD
BC = BY + YC

Так как угол AXB равен 90 градусам, то векторы AX и XB будут перпендикулярными. Используем это свойство для решения задачи.

Скалярное произведение векторов AX и XB равно нулю:

AX · XB = 0

Раскроем скалярное произведение векторов:

(AX + XD) · (BX + XD) = 0

AX · BX + AX · XD + XD · BX + XD · XD = 0

Так как мы знаем, что вектор BX равен 10-кратному вектору BD и векторы AX и BX перпендикулярны, то можем записать:

AX · 10BD + AX · XD + XD · 10BD + XD · XD = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

10(AX · BD) + AX · XD + XD · 10BD + XD · XD = 0

AX · BD + AX · XD + XD · BD + XD · XD = 0

AX · XD + XD · XD = - AX · BD - XD · BD

AX · XD + (XD + XD) · XD = - AX · BD

AX · XD + 2XD · XD = - AX · BD

3AX · XD = - AX · BD

Теперь обратимся к векторам BY и BC. Из условия задачи известно, что вектор BY равен k-кратному вектору BC. Аналогично представим вектор BC как сумму векторов BY и YC. Воспользуемся свойством скалярного произведения для этих векторов:

BY · BC = 0

(BY + YC) · BC = 0

BY · BC + YC · BC = 0

Так как мы знаем, что вектор BY равен k-кратному вектору BC и векторы BY и BC перпендикулярны, то можем записать:

kBC · BC + YC · BC = 0

k(BC · BC) + YC · BC = 0

k||BC||^2 + YC · BC = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

3AX · XD = - AX · BD
k||BC||^2 + YC · BC = 0

Мы знаем, что векторы BC и BD сонаправлены, поэтому вектор BD можно представить как BD = tBC, где t - некоторое число. Подставим это в уравнение:

3AX · XD = - AX · tBC

Представим векторы AX и XD также через векторы AC и CD соответственно:

3(AC - BC) · (CD - BD) = -(AC - BC) · tBC

3(AC · CD - BC · CD - AC · BD + BC · BD) = - t(AC · BC - BC · BC)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3(AC · CD - BC · CD - AC · tBC + BC · tBC) = - t(AC · BC - BC · BC)

3AC · CD - 3BC · CD - 3AC · tBC + 3BC · tBC = - tAC · BC + tBC · BC

3AC · CD - 3tAC · BC + 3BC · tBC - 3BC · CD = - tAC · BC + tBC · BC

3AC · CD - 3BC · CD - 3tAC · BC + 3tBC · BC - 3BC · CD = - tAC · BC + tBC · BC

(3AC - tBC) · CD + (3tBC - tAC) · BC = 0

Так как это равенство должно выполняться для любых векторов CD и BC, то коэффициенты при этих векторах должны быть равны нулю:

3AC - tBC = 0
3tBC - tAC = 0

Эти два уравнения образуют систему уравнений. Решим ее, чтобы найти значения t и k.

Из первого уравнения получаем:

t = 3AC/BC

Подставляем это значение во второе уравнение:

3(3AC/BC)BC - AC = 0

9AC - AC = 0

8AC = 0

AC = 0

Таким образом, вектор AC равен нулевому вектору. Это означает, что точки X и Y совпадают и находятся на отрезке BC.

Итак, получили, что точки X и Y совпадают и находятся на отрезке BC. Значит, вектор BY равен 0-му вектору BC. Подставим это значение во второе уравнение:

k||BC||^2 + YC · BC = 0

0 + YC · BC = 0

YC · BC = 0

Так как векторы BC и YC не являются нулевыми векторами и их скалярное произведение равно нулю, то можно сделать вывод, что эти векторы перпендикулярны. А это возможно только при условии, что точка Y находится на середине отрезка BC (YC = 0,5BC).

Таким образом, k = 0,5.