Где находится точка, принадлежащая заданной сфере x^2+y^2+z^2=14, если известны точки а (2√3; -1; 1) и в (0

Для решения данной задачи нам нужно найти координаты точки, принадлежащей заданной сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\). Известно, что точка А имеет координаты \((2\sqrt{3}, -1, 1)\), а точка B имеет координаты \((0, 3, 4)\).

Для начала, посмотрим на уравнение заданной сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\). Здесь имеется квадратичный тричлен для каждой из переменных, а это говорит нам о том, что это уравнение представляет собой сферу в трехмерном пространстве с центром в начале координат \((0, 0, 0)\) и радиусом \(\sqrt{14}\).

Теперь, для нахождения координат точки С, найдем вектор АB, который будет задавать направление от точки А до точки В. Для этого вычтем из координат точки В координаты точки А:

\[
\vec{AB} = (0 - 2\sqrt{3}, 3 - (-1), 4 - 1) = (-2\sqrt{3}, 4, 3)
\]

Теперь найдем вектор, параллельный вектору AB и лежащий на сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\). Для этого домножим координаты вектора AB на некоторый числовой множитель t:

\[
\vec{OC} = t \cdot \vec{AB}
\]

где O - начало координат.

Подставим координаты точки С \((x, y, z)\) в уравнение сферы \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\) и получим:

\[
(x^2 + y^2 + z^2) = (t \cdot \vec{AB})^2
\]

\[
x^2 + y^2 + z^2 = (t \cdot -2\sqrt{3})^2 + (t \cdot 4)^2 + (t \cdot 3)^2
\]

\[
x^2 + y^2 + z^2 = 12t^2 + 16t^2 + 9t^2
\]

\[
x^2 + y^2 + z^2 = 37t^2
\]

Теперь приравняем это выражение к радиусу сферы \(\sqrt{14}\):

\[
37t^2 = 14
\]

Поделим обе части уравнения на 37:

\[
t^2 = \frac{14}{37}
\]

Возьмем корень из обоих частей уравнения:

\[
t = \pm \sqrt{\frac{14}{37}}
\]

Зная значение t, мы можем найти координаты точки С:

\[
\vec{OC} = \pm \sqrt{\frac{14}{37}} \cdot \vec{AB}
\]

\[
\vec{OC} = \pm \sqrt{\frac{14}{37}} \cdot (-2\sqrt{3}, 4, 3)
\]

\[
\vec{OC} = \left( \pm \sqrt{\frac{14}{37}} \cdot -2\sqrt{3}, \pm \sqrt{\frac{14}{37}} \cdot 4, \pm \sqrt{\frac{14}{37}} \cdot 3 \right)
\]

\[
\vec{OC} = \left( \pm \frac{-2\sqrt{42}}{\sqrt{37}}, \pm \frac{4\sqrt{14}}{\sqrt{37}}, \pm \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{37}} \right)
\]

Таким образом, координаты точки С находятся примерно приблизительно равными:

\[
C \approx \left( \pm \frac{-2\sqrt{42}}{\sqrt{37}}, \pm \frac{4\sqrt{14}}{\sqrt{37}}, \pm \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{37}} \right)
\]

Подбором знаков перед каждым из выражений можно получить значения точек C, которые принадлежат заданной сфере \(x^2 + y^2 + z^2 = 14\) и имеют направление, параллельное вектору AB.