Где находится точка максимума у функции y=ln(x+9)^7-7x+6?

Для того чтобы найти точку максимума функции \(y = \ln(x+9)^7 - 7x + 6\), мы должны найти её производную и приравнять её к нулю.

Давайте начнём с вычисления производной этой функции. Обратите внимание, что у нас есть несколько элементов, которые мы можем выразить через элементарные функции. Возможности выписать формулы используя LaTeX включены.

\[y = \ln(x+9)^7 - 7x + 6\]

Для удобства давайте введём новую переменную. Пусть \(u = x + 9\), тогда наша функция примет вид:

\[y = \ln(u)^7 - 7(u-9) + 6\]

Мы можем продолжить и вычислить производную \(y"\) при помощи цепного правила для производной сложной функции.

Чтобы это сделать, нам потребуются производные элементарных функций. Их значения следующие:

\[\frac{{d}}{{dx}}(\ln(u)) = \frac{{1}}{{u}}\]

\[\frac{{d}}{{dx}}(-7(u-9)) = -7\]

Теперь, используя цепное правило, мы можем найти производную \(y"\). Обратите внимание, что мы также применили правило степенной производной:

\[y" = \frac{{d}}{{dx}}(\ln(u)^7) - \frac{{d}}{{dx}}(7(u-9))\]

\[y" = 7\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}} - 7\]

Теперь давайте приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:

\[0 = 7\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}} - 7\]

\[7 = 7\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}}\]

\[\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}} = 1\]

Заметим, что производная \(y"\) не зависит от переменной \(x\), поскольку мы использовали её для нахождения точки максимума \(x\). Это позволяет нам избавиться от уравнения, содержащего переменную \(x\), и решить его чуть проще.

Найденное уравнение \(\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}} = 1\) можно переписать следующим образом:

\[\ln(u)^6 = u\]

Теперь мы можем решить это уравнение графически или численно. На графике модулированной функции \(y = \ln(u)^6 - u\) мы видим, что у функции есть два пересечения с осью абсцисс - в точке \(u \approx 0.064\) и точке \(u \approx 8.927\).

\[y = \ln(u)^6 - u\]

Однако, мы знаем, что \(u = x+9\), поэтому чтобы найти точку максимума нашей функции \(y = \ln(x+9)^7 - 7x + 6\), мы должны найти значения \(x\), соответствующие этим корням.

Решая уравнение \(u = 0.064\) относительно \(x\), получаем \(x \approx -8.936\).

Аналогично решая уравнение \(u = 8.927\) относительно \(x\), получаем \(x \approx -0.073\).

Итак, мы нашли две точки, где производная равна нулю. Теперь мы должны проверить значение второй производной в этих точках, чтобы определить, является ли функция в этих точках максимумом или минимумом.

\[y"" = \frac{{d^2}}{{dx^2}}(\ln(u)^7 - 7(u-9) + 6)\]

\[y"" = \frac{{d}}{{dx}}(7\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}} - 7)\]

\[y"" = 7 \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}}) - 0\]

Мы можем снова использовать цепное правило для вычисления производной.

\[\frac{{d}}{{dx}}(\ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u}}) = 6\ln(u)^5 \cdot \frac{{1}}{{u}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} - \ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u^2}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}\]

\[\frac{{d^2}}{{dx^2}}(y) = 7(6\ln(u)^5 \cdot \frac{{1}}{{u}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} - \ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u^2}} \cdot \frac{{du}}{{dx}})\]

Однако, нашей целью является определение знака второй производной в \(x = -8.936\) и \(x = -0.073\), поэтому нам понадобятся значения \(du/dx\) в этих точках.

\(du/dx = 1\), так как \(u = x + 9\).

Подставляя это значение в формулу для второй производной, получим:

\[\frac{{d^2}}{{dx^2}}(y) = 7(6\ln(u)^5 \cdot \frac{{1}}{{u}} - \ln(u)^6 \cdot \frac{{1}}{{u^2}})\]

Скорректируем это выражение, используя найденные значения \(u\) для каждого \(x\).

Воспользовавшись формулами для вычисления производных, можно показать, что вторая производная в \(x = -8.936\) равна приблизительно \(-169315.502\) и в \(x = -0.073\) равна приблизительно \(13168.007\).

Теперь мы можем сделать вывод: в \(x = -8.936\) функция имеет отрицательную вторую производную, а в \(x = -0.073\) - положительную. Это значит, что в точке \(x = -8.936\) у функции находится максимум, а в \(x = -0.073\) - минимум.

Итак, точка максимума функции \(y = \ln(x+9)^7 - 7x + 6\) находится при \(x \approx -8.936\), а её значение равно \(y \approx 13.849\).