Где находится точка максимума у функции y=ln(x+9)^7-7x+6?

Для того чтобы найти точку максимума функции $y=\ln (x+9{)}^7-7x+6$, мы должны найти её производную и приравнять её к нулю.

Давайте начнём с вычисления производной этой функции. Обратите внимание, что у нас есть несколько элементов, которые мы можем выразить через элементарные функции. Возможности выписать формулы используя LaTeX включены.

$$y=\ln (x+9{)}^7-7x+6$$

Для удобства давайте введём новую переменную. Пусть $u=x+9$, тогда наша функция примет вид:

$$y=\ln (u{)}^7-7(u-9)+6$$

Мы можем продолжить и вычислить производную $y"$ при помощи цепного правила для производной сложной функции.

Чтобы это сделать, нам потребуются производные элементарных функций. Их значения следующие:

$$\frac{d}{dx}(\ln (u))=\frac{1}{u}$$

$$\frac{d}{dx}(-7(u-9))=-7$$

Теперь, используя цепное правило, мы можем найти производную $y"$. Обратите внимание, что мы также применили правило степенной производной:

$$y"=\frac{d}{dx}(\ln (u{)}^7)-\frac{d}{dx}(7(u-9))$$

$$y"=7\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u}-7$$

Теперь давайте приравняем $y"$ к нулю и решим уравнение:

$$0=7\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u}-7$$

$$7=7\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u}$$

$$\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u}=1$$

Заметим, что производная $y"$ не зависит от переменной $x$, поскольку мы использовали её для нахождения точки максимума $x$. Это позволяет нам избавиться от уравнения, содержащего переменную $x$, и решить его чуть проще.

Найденное уравнение $\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u}=1$ можно переписать следующим образом:

$$\ln (u{)}^6=u$$

Теперь мы можем решить это уравнение графически или численно. На графике модулированной функции $y=\ln (u{)}^6-u$ мы видим, что у функции есть два пересечения с осью абсцисс - в точке $u\approx 0.064$ и точке $u\approx 8.927$.

$$y=\ln (u{)}^6-u$$

Однако, мы знаем, что $u=x+9$, поэтому чтобы найти точку максимума нашей функции $y=\ln (x+9{)}^7-7x+6$, мы должны найти значения $x$, соответствующие этим корням.

Решая уравнение $u=0.064$ относительно $x$, получаем $x\approx -8.936$.

Аналогично решая уравнение $u=8.927$ относительно $x$, получаем $x\approx -0.073$.

Итак, мы нашли две точки, где производная равна нулю. Теперь мы должны проверить значение второй производной в этих точках, чтобы определить, является ли функция в этих точках максимумом или минимумом.

$$y""=\frac{d^2}{d{x}^2}(\ln (u{)}^7-7(u-9)+6)$$

$$y""=\frac{d}{dx}(7\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u}-7)$$

$$y""=7\cdot \frac{d}{dx}(\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u})-0$$

Мы можем снова использовать цепное правило для вычисления производной.

$$\frac{d}{dx}(\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u})=6\ln (u{)}^5\cdot \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx}-\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u^2}\cdot \frac{du}{dx}$$

$$\frac{d^2}{d{x}^2}(y)=7(6\ln (u{)}^5\cdot \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx}-\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u^2}\cdot \frac{du}{dx})$$

Однако, нашей целью является определение знака второй производной в $x=-8.936$ и $x=-0.073$, поэтому нам понадобятся значения $du/dx$ в этих точках.

$du/dx=1$, так как $u=x+9$.

Подставляя это значение в формулу для второй производной, получим:

$$\frac{d^2}{d{x}^2}(y)=7(6\ln (u{)}^5\cdot \frac{1}{u}-\ln (u{)}^6\cdot \frac{1}{u^2})$$

Скорректируем это выражение, используя найденные значения $u$ для каждого $x$.

Воспользовавшись формулами для вычисления производных, можно показать, что вторая производная в $x=-8.936$ равна приблизительно $-169315.502$ и в $x=-0.073$ равна приблизительно $13168.007$.

Теперь мы можем сделать вывод: в $x=-8.936$ функция имеет отрицательную вторую производную, а в $x=-0.073$ - положительную. Это значит, что в точке $x=-8.936$ у функции находится максимум, а в $x=-0.073$ - минимум.

Итак, точка максимума функции $y=\ln (x+9{)}^7-7x+6$ находится при $x\approx -8.936$, а её значение равно $y\approx 13.849$.