For the past few weeks, my friends and I have been involved in the development of a free community library, and

Когда человек завершает обзор, мы также даём ему возможность выбрать одну книгу бесплатно из нашей библиотеки. Тем не менее, у нас возникла проблема с выбором книги. Мы не знаем, сколько всего книг у нас в библиотеке, и хотим выяснить это, прежде чем предложить бесплатные книги. Мы заметили, что каждую неделю количество новых зарегистрированных пользователей удваивается. На этой неделе у нас уже 20 зарегистрированных пользователей. Мы хотим узнать, сколько всего обзоров было опубликовано к настоящему моменту, чтобы можем правильно организовать выборку книг для наших пользователей.

Для решения этой задачи нам необходимо построить последовательность чисел, которая отражает количество пользователей каждую неделю и определить, сколько всего обзоров было опубликовано. Для этого мы можем использовать арифметическую прогрессию.

Формула для арифметической прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]
где \(a_n\) - n-й член прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(n\) - номер члена прогрессии,
\(d\) - разность между членами прогрессии.

Мы уже знаем, что на этой неделе у нас 20 пользователей, поэтому \(a_1 = 20\). Нам также известно, что количество пользователей удваивается каждую неделю, что означает, что разность между членами прогрессии равна 2 (так как каждую неделю прибавляется одинаковое количество новых пользователей).

Теперь мы можем использовать формулу для определения общего количества обзоров, которые были опубликованы. Мы знаем, что для каждого обзора мы предлагаем пользователю выбрать одну книгу бесплатно, поэтому общее количество обзоров будет равно количеству пользователей, регистрирующихся каждую неделю и прогрессией.

Пусть \(N\) - количество обзоров, \(n\) - количество недель.

Мы знаем, что количество пользователей каждую неделю удваивается. То есть, каждая неделя даёт новые пользователи \(20 + 20 \cdot 2 + 20 \cdot 2^2 + \cdots + 20 \cdot 2^{n-1} = \sum_{i=1}^{n} 20 \cdot 2^{i-1}\). Это является суммой геометрической прогрессии.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
\[\sum_{i=1}^{n} a \cdot r^{i-1} = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}\]
где \(a\) - первый член прогрессии,
\(r\) - знаменатель прогрессии.

В данном случае \(a = 20\) и \(r = 2\).

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу:
\[N = 20 \cdot \frac{1 - 2^n}{1 - 2}\]
\[N = 40 \cdot (1 - 2^n)\]

Таким образом, общее количество обзоров будет равно \(40 \cdot (1 - 2^n)\), где \(n\) - количество недель, прошедших с момента создания блога.

Например, если прошло 16 недель (как в данном случае), то общее количество обзоров будет:
\(N = 40 \cdot (1 - 2^{16})\)

Вычислим значение \(N\).