Есть отрезка единичной длины, на котором случайным образом выбраны две точки, которые разделяют этот отрезок

Для решения этой задачи мы воспользуемся геометрическим подходом. Для начала, рассмотрим возможные положения двух точек на отрезке единичной длины.

Пусть первая точка выбрана на расстоянии \(x\) от начала отрезка, а вторая точка выбрана на расстоянии \(y\) от начала отрезка. Тогда длина первой части будет равна \(x\), длина второй части будет равна \(y - x\), и длина третьей части будет равна \(1 - y\).

Для того чтобы найти вероятность того, что длина каждой из трех частей составляет \(a\), \(b\), и \(c\) единиц длины соответственно, нам нужно найти область, в которой значения \(x\), \(y\), и \(1 - y\) лежат в пределах от \(0\) до \(1\) и условие \(x = a\), \(y - x = b - a\), \(1 - y = c\) выполнено одновременно.

Объединяя эти условия, мы получаем следующую систему неравенств:

\[
\begin{align*}
0 \leq x &\leq 1 \\
0 \leq y - x &\leq 1 \\
0 \leq 1 - y &\leq 1 \\
x &= a \\
y - x &= b - a \\
1 - y &= c \\
\end{align*}
\]

Давайте решим эту систему неравенств и найдем область, в которой она выполнена.

1. Условие \(0 \leq x \leq 1\) ограничивает \(x\) от \(0\) до \(1\).
2. Условие \(0 \leq y - x \leq 1\) и \(x = a\) дают нам неравенства \(0 \leq a \leq y \leq a + 1\), которые определяют область треугольника.
3. Условие \(0 \leq 1 - y \leq 1\) дает нам неравенства \(0 \leq y \leq 1\), которые определяют отрезок длиной \(1\).

Итак, общая область, удовлетворяющая всем условиям задачи, представляет собой треугольник с основанием \(1\), высотой \(1\) и вершинами в точках \((a, 0)\), \((a+1, 0)\) и \((a+1, 1)\).

Теперь мы можем найти площадь этой области и выразить ее как вероятность. Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}
\]

В нашем случае, площадь треугольника будет равна:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}
\]

Так как площадь треугольника равна вероятности наступления события, мы можем заключить, что вероятность того, что длина каждой из трех частей будет составлять \(a\), \(b\), и \(c\) единиц длины соответственно, равна \(\frac{1}{2}\).