Если валовая производительность факторов растет на 2% в год, темп роста валового выпуска составляет 3,4% в год

Для решения этой задачи, мы можем использовать уравнение Кобба-Дугласа, которое связывает валовой выпуск, капитал и труд:

\[Y = K^\alpha L^{1-\alpha}\]

где:
\(Y\) - валовой выпуск,
\(K\) - капитал,
\(L\) - численность работающих,
\(\alpha\) - доля капитала в производственной функции.

Мы знаем, что валовая производительность факторов растет на 2% в год, что означает, что каждый год мы получаем на 2% больше выпуска с тем же количеством капитала и труда:

\[\frac{\partial Y}{Y} = 0,02\]

Темп роста валового выпуска составляет 3,4% в год, поэтому:

\[\frac{\partial Y}{Y} = 0,034\]

Численность работающих увеличивается на 1% в год:

\[\frac{\partial L}{L} = 0,01\]

Теперь нам нужно найти темп роста капитала. Мы можем сделать это, взяв производную от уравнения Кобба-Дугласа по капиталу:

\[\frac{\partial Y}{Y} = \alpha \frac{\partial K}{K} + (1-\alpha) \frac{\partial L}{L}\]

Подставим значения, которые нам известны:

\[0,034 = \alpha \frac{\partial K}{K} + (1-\alpha)0,01\]

Раскроем скобки и решим уравнение относительно \(\frac{\partial K}{K}\):

\[0,034 = 0,01 - \alpha \cdot 0,01 + \alpha \cdot \frac{\partial K}{K}\]

\[0,034 - 0,01 = \alpha \cdot \frac{\partial K}{K} - \alpha \cdot 0,01\]

\[0,024 = \alpha \cdot \left(\frac{\partial K}{K} - 0,01\right)\]

Теперь мы можем определить темп роста капитала:

\[\frac{\partial K}{K} = \frac{0,024}{\alpha} + 0,01\]

И темп роста капитала составляет \(\frac{0,024}{\alpha} + 0,01\). Однако, нам неизвестна доля капитала \(\alpha\), поэтому не можем точно определить темп роста капитала без этой информации.