Если в параллелограмме АВСД площадь равна S, и на стороне АВ выбрана точка Р так, что соотношение АР:ВР=5:3, то какова

Давайте решим данную задачу. Площадь прямоугольника равна произведению его базы (одной из сторон) на высоту, опущенную на эту базу. Обозначим базу параллелограмма AB как b, а высоту, опущенную на неё, как h.

Так как площадь параллелограмма равна S, то имеем:
S = b * h

Теперь рассмотрим треугольник ARD. Обозначим его высоту, опущенную на сторону AR, как h1, а длину стороны RD, как d.

Так как AR и RD - это высота и база треугольника ARD соответственно, его площадь можно выразить через эти величины следующим образом:
S1 = (1/2) * d * h1

Нам нужно найти площадь треугольника ARD, выраженную через площадь параллелограмма S. Для этого мы должны найти связь между высотами h и h1 треугольников и длинами их сторон.

Введем обозначения:
AP = x, то есть AR = 5x,
BP = y, то есть RB = 3y.

Так как AP + BP = AB = b, то x + y = b.

Теперь рассмотрим отношение высот треугольников ARD и ABC.

По теореме о подобных фигурах, отношение высот треугольников, образованных прямыми, параллельными сторонам параллелограмма, равно отношению длин этих сторон. Таким образом, отношение высот h1 и h равно отношению сторон AR и AB:
h1 : h = AR : AB = 5x : b

Так как x + y = b, то y = b - x. Подставим это значение в полученное отношение:
h1 : h = 5x : b = 5x : (x + y) = 5x : (x + b - x) = 5x : b

Теперь можем выразить h1 через h, используя найденное отношение:
h1 = (5x / b) * h

Таким образом, площадь треугольника ARD можно выразить через площадь параллелограмма S следующим образом:
S1 = (1/2) * d * h1 = (1/2) * d * [(5x / b) * h] = (5d / 2b) * x * h

Мы знаем, что площадь параллелограмма S равна S = b * h, поэтому площадь треугольника ARD S1 будет:
S1 = (5d / 2b) * (S / h) * x

Окончательный ответ:
Площадь треугольника АРД равна S1 = (5d / 2b) * (S / h) * x.