Если случайные величины X и Y являются независимыми, то какова дисперсия

Question

Другие предметы: Если случайные величины X и Y являются независимыми, то какова дисперсия случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что дисперсия X равна 4 и дисперсия Y равна

Yaroslav · Accepted Answer

Для решения этой задачи нам потребуется знать несколько свойств дисперсии и независимых случайных величин.

Пусть X и Y - независимые случайные величины с дисперсиями \(\sigma_X^2\) и \(\sigma_Y^2\) соответственно.

Для нахождения дисперсии случайной величины Z=2X+3Y мы воспользуемся свойствами дисперсии и линейности:

\[Var(Z) = Var(2X+3Y)\\=Var(2X) + Var(3Y)\]

Здесь мы использовали свойство линейности дисперсии, которое гласит, что для независимых случайных величин A и B выполняется \(Var(A+B) = Var(A) + Var(B)\).

Также, свойство дисперсии гласит, что для любой случайной величины A с константой c выполняется \(Var(cA) = c^2 Var(A)\).

Применяя эти свойства, получаем:

\[Var(Z) = Var(2X) + Var(3Y)\\= 4 Var(X) + 9 Var(Y)\]

Подставляем известные значения \(\sigma_X^2 = 4\) и \(\sigma_Y^2\) в уравнение:

\[Var(Z) = 4\cdot 4 + 9\cdot \sigma_Y^2\]

Итак, дисперсия случайной величины Z равна \(16 + 9\sigma_Y^2\) или \(\sigma_Z^2 = 16 + 9\sigma_Y^2\).

Таким образом, ответом на задачу является \(16 + 9\sigma_Y^2\).

Если случайные величины X и Y являются независимыми, то какова дисперсия случайной величины Z=2X+3Y, если известно

Yaroslav

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!