Если размер острого угла в трапеции составляет 30°, а одна из боковых сторон равна 8, то какова площадь этой трапеции

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание свойств трапеции и тригонометрии. Давайте посмотрим на трапецию и обозначим ее стороны.

Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \), а боковые стороны имеют длины \( c \) и \( d \). Также обозначим острый угол в трапеции как \( \angle ABC \), где точки A и C - вершины оснований, а точка B - точка пересечения боковых сторон.

Из условия задачи известно, что в трапеции угол \( \angle ABC \) равен 30° и одна из боковых сторон равна 8. Предположим, что эта боковая сторона соответствует стороне \( c \), то есть \( c = 8 \).

Так как сумма длин оснований равна, то \( a + b = c + d \) (osnovanii = bokovie), так как трапеция является фигурой с одной парой параллельных сторон.

Теперь воспользуемся свойством трапеции: сумма длин оснований, умноженная на высоту, равна площади трапеции: \( S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h \).

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно найти высоту. Высота трапеции может быть найдена с использованием тригонометрического отношения тангенса.

Так как \( \angle ABC = 30° \), мы можем воспользоваться тангенсом этого угла:

\[ \tan(30°) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{прилежащая сторона}}}} = \frac{h}{8} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{8} \]

\[ h = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Теперь, используя найденное значение высоты и сумму длин оснований, мы можем найти площадь трапеции:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Мы знаем, что \( a + b = c + d \). Так как \( c = 8 \), то \( a + b = 8 + d \). Подставляя это значение в формулу для площади трапеции, получаем окончательное выражение для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (8 + d) \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Это окончательный ответ на задачу о площади трапеции, если сумма длин ее оснований равна.