Если при температуре 20 градусов Цельсия реакция длится 45 минут, а при 30 градусах Цельсия – 15 минут, то каково

Чтобы найти значение температурного коэффициента скорости реакции, мы можем использовать правило Вант-Гоффа. Правило Вант-Гоффа утверждает, что скорость реакции увеличивается в экспоненциальной зависимости от температуры.

Для начала, давайте найдем разность времени реакции при двух разных температурах. Вычитаем время при 30 градусах Цельсия из времени при 20 градусах Цельсия:

\[
\Delta t = 45 \, \text{минут} - 15 \, \text{минут} = 30 \, \text{минут}
\]

Теперь мы можем воспользоваться формулой Вант-Гоффа, которая гласит:

\[
k_2 = k_1 \cdot e^{\frac{{E_a}}{{R}} \left( \frac{{1}}{{T_1}} - \frac{{1}}{{T_2}} \right)}
\]

где \(k_1\) и \(k_2\) - скорости реакции при температурах \(T_1\) и \(T_2\) соответственно, \(E_a\) - энергия активации реакции, а \(R\) - универсальная газовая постоянная.

Мы знаем, что \(T_1 = 20 + 273.15 = 293.15\) Кельвина и \(T_2 = 30 + 273.15 = 303.15\) Кельвина.

Теперь найдем \(E_a\). Подставим известные значения в формулу Вант-Гоффа и найдем \(E_a\):

\[
30 \, \text{минут} = 45 \, \text{минут} \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}
\]

Выразим \(E_a\):

\[
\frac{{30 \, \text{минут}}}{{45 \, \text{минут}}} = e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}
\]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[
\ln{\left( \frac{{30 \, \text{минут}}}{{45 \, \text{минут}}} \right)} = \frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)
\]

Перенесем коэффициент перед \(E_a\) и решим уравнение относительно \(E_a\):

\[
E_a = \ln{\left( \frac{{30 \, \text{минут}}}{{45 \, \text{минут}}} \right)} \times 8.314 \times \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)
\]

Теперь найдем значение температурного коэффициента скорости реакции (\(k_2\)). Подставим известные значения в формулу Вант-Гоффа:

\[
k_2 = k_1 \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}
\]

Однако, нам не дано значение \(k_1\), поэтому мы можем рассмотреть отношение скоростей реакций при двух температурах:

\[
\frac{{k_2}}{{k_1}} = \frac{{\text{скорость при 30 градусах Цельсия}}}{{\text{скорость при 20 градусах Цельсия}}} = \frac{{15 \, \text{минут}}}{{45 \, \text{минут}}} = \frac{{1}}{{3}}
\]

Теперь мы можем выразить \(k_1\) через \(k_2\):

\[
k_1 = \frac{{k_2}}{{3}}
\]

Подставим это значение в формулу для \(k_2\):

\[
k_2 = \frac{{k_2}}{{3}} \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}
\]

Упростим выражение, разделив обе части уравнения на \(k_2\):

\[
1 = \frac{{1}}{{3}} \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}
\]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[
\ln{1} = \ln{\left( \frac{{1}}{{3}} \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)} \right)}
\]

Поскольку \(\ln{1} = 0\), то уравнение упрощается до:

\[
0 = \ln{\left( \frac{{1}}{{3}} \right)} + \frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)
\]

Теперь решим это уравнение относительно \(E_a\):

\[
\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right) = -\ln{\left( \frac{{1}}{{3}} \right)}
\]

Домножим обе части уравнения на \(\frac{{8.314}}{{\left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}}\):

\[
E_a = -\ln{\left( \frac{{1}}{{3}} \right)} \cdot \frac{{8.314}}{{\left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}}
\]

Таким образом, мы нашли значение \(E_a\) равное:

\[
E_a = -\ln{\left( \frac{{1}}{{3}} \right)} \cdot \frac{{8.314}}{{\left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}}
\]

Наконец, мы можем использовать \(E_a\) для вычисления \(k_2\) с помощью формулы Вант-Гоффа:

\[
k_2 = k_1 \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}
\]

где \(k_1 = \frac{{k_2}}{{3}}\):

\[
k_2 = \frac{{k_2}}{{3}} \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}
\]

Упростив это выражение, мы можем выразить коэффициент \(k_2\) в терминах известных величин:

\[
k_2 = \frac{{3}}{{3 \cdot e^{\frac{{E_a}}{{8.314}} \left( \frac{{1}}{{293.15}} - \frac{{1}}{{303.15}} \right)}}}
\]

Подставив значение \(E_a\), мы получим окончательное значение температурного коэффициента скорости реакции \(k_2\).