Если площадь большого круга, вписанного в конус, равна b квадратным дециметрам, то какова площадь боковой поверхности

Для решения этой задачи, нам нужно использовать связь между площадью основания конуса и площадью его боковой поверхности.

Пусть \(A\) - площадь основания конуса, \(S_b\) - площадь боковой поверхности конуса, а \(r\) - радиус основания конуса.

Мы знаем, что площадь большого круга, вписанного в конус, равна \(b\) квадратным дециметрам, что означает, что площадь основания равна \(b\):

\[A = b\]

Также нам дано, что образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Образующая конуса - это отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания.

Используя формулу для площади боковой поверхности конуса, связанную с радиусом основания и образующей, можно написать:

\[S_b = \pi r l\]

Где \(l\) - длина образующей конуса. Чтобы выразить \(l\) через известные данные, воспользуемся тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, образованном образующей и радиусом основания:

\[\sin(60^\circ) = \frac{l}{r}\]

Округлимся до трех знаков после запятой:

\[l = r \cdot \sin(60^\circ)\]

Теперь мы можем заменить \(l\) в формуле для площади боковой поверхности:

\[S_b = \pi r \cdot (r \cdot \sin(60^\circ))\]

Окончательный ответ:

\[S_b = \pi r^2 \sin(60^\circ)\]

Используя известное соотношение \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем дополнительно упростить выражение:

\[S_b = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} r^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна \(\frac{\pi \sqrt{3}}{4} r^2\). Пожалуйста, обратите внимание, что это решение предоставляется с полным объяснением, чтобы оно было понятно школьнику.