Если одна сторона треугольника на 3 см короче другой и угол между ними составляет 60 градусов, то каков периметр

Для решения этой задачи нам необходимо использовать законы геометрии и тригонометрии. Постараюсь объяснить каждый шаг подробно.

Пусть одна сторона треугольника равна \(x\) см, а вторая сторона на 3 см больше, то есть равна \(x + 3\) см. Угол между этими сторонами составляет 60 градусов.

Так как сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, мы можем записать следующее неравенство:

\[x + (x + 3) > x\]

Упростив это неравенство получаем:

\[2x + 3 > x\]

Теперь найдем третью сторону треугольника. Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\]

Где \(c\) - длина третьей стороны, \(a\) и \(b\) - длины двух известных сторон, а \(\gamma\) - угол между ними.

В нашем случае \(a = x\), \(b = x + 3\) и \(\gamma = 60^\circ\). Подставим значения в формулу:

\[c^2 = x^2 + (x + 3)^2 - 2x(x + 3)\cos(60^\circ)\]

Упростим это выражение:

\[c^2 = x^2 + (x^2 + 6x + 9) - 2x(x + 3)\cdot \frac{1}{2}\]

\[c^2 = 2x^2 + 6x + 9 - x(x + 3)\]

\[c^2 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x\]

\[c^2 = x^2 + 3x + 9\]

Теперь, найдя квадрат третьей стороны \(c^2\), мы можем найти ее длину \(c\) путем извлечения квадратного корня:

\[c = \sqrt{x^2 + 3x + 9}\]

Наконец, чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех трех сторон:

\[P = x + (x + 3) + \sqrt{x^2 + 3x + 9}\]

Это и есть окончательный ответ.