Два конуса имеют общее основание. Один из них находится внутри другого. Углы, образованные образующими этих конусов

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства конусов. Давайте рассмотрим детали по очереди.

а) Для начала рассмотрим вертикальный разрез обоих конусов плоскостью, параллельной боковому ребру меньшего конуса. Получим две подобные трапеции (одна внутри другой), так как углы, образованные стороной меньшего конуса, равны 60 градусов и 30 градусов.

Пусть \(AC\) - боковая сторона меньшего конуса, а \(BD\) - боковая сторона большего конуса. Тогда, если обозначить точку пересечения высот конусов как \(E\), то по свойству подобных трапеций соответствующие отрезки \(AE\) и \(DE\) будут пропорциональны отрезкам \(AC\) и \(BD\).

Для простоты, пусть \(AC = x\) и \(BD = y\). Тогда \(AE = \frac{2}{3}x\) и \(ED = \frac{1}{3}x\), так как соотношение между \(AE\) и \(ED\) равно 2:1.

Теперь, обратимся к высотам конусов. Пусть \(h_1\) - высота меньшего конуса, а \(h_2\) - высота большего конуса. Нам известно, что сумма этих высот равна \(h_1 + h_2\).

Так как \(AE = \frac{2}{3}x\) и \(ED = \frac{1}{3}x\), а \(h_1\) и \(h_2\) - это высоты, то соотношение между \(h_1\) и \(h_2\) также будет 2:1.

Отсюда можно заключить, что вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса отношением 2:1, отсчитывая от вершины большего из них.

б) Теперь перейдем к нахождению объема пространства, ограниченного боковыми поверхностями этих конусов.

Обозначим радиусы оснований меньшего и большего конусов как \(r_1\) и \(r_2\) соответственно, а высоты этих конусов как \(h_1\) и \(h_2\).

Объем конуса можно найти по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\).

Тогда объем пространства, ограниченного боковыми поверхностями этих конусов, будет равен разности объемов большего и меньшего конусов:

\[V_{\text{пространства}} = \left(\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2\right) - \left(\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\right)\]

Подставим известные значения для углов и использования подобных конусов. Пусть \(r_2 = r_1 \cdot k\) (где \(k\) - коэффициент подобия). Тогда \(r_2 = r_1 \cdot \sqrt{3}\) и \(h_2 = h_1 \cdot 2\).

Подставим эти значения в формулу объема пространства:

\[V_{\text{пространства}} = \left(\frac{1}{3}\pi (r_1 \cdot \sqrt{3})^2 (h_1 \cdot 2)\right) - \left(\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\right)\]

Упростим это выражение:

\[V_{\text{пространства}} = \left(\frac{1}{3}\pi 3r_1^2 h_1\right) - \left(\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1\right)\]

\[V_{\text{пространства}} = \left(\frac{2}{3}\pi r_1^2 h_1\right)\]

Здесь мы видим, что объем пространства, ограниченного боковыми поверхностями этих конусов, равен \(\frac{2}{3}\) объема большего конуса.

Таким образом, мы рассмотрели задачу и получили ответы для каждого из ее пунктов:

а) Вершина меньшего конуса делит высоту большего конуса отношением 2:1, отсчитывая от вершины большего конуса.

б) Объем пространства, ограниченного боковыми поверхностями этих конусов, равен \(\frac{2}{3}\) объема большего конуса.