Дуополия: pd = 50 – 3q, mc = const = 5. определите: а) функции реакции обеих фирм; б) объем производства каждой фирмы

Хорошо, давайте решим поставленную задачу по дуополии шаг за шагом:

а) Для определения функций реакции каждой фирмы, нам необходимо использовать уравнение спроса и маржинальную стоимость (MC).

Уравнение спроса, данное в задаче, имеет вид: \(pd = 50 - 3q\), где pd обозначает цену, а q - объем производства.

Маржинальная стоимость (MC) известна и равна постоянной величине 5.

Функция реакции обеих фирм - это объем производства, который каждая из фирм будет выбирать в зависимости от рыночной цены и маржинальной стоимости.

Пусть \(q_1\) и \(q_2\) - объемы производства первой и второй фирм соответственно.

Для первой фирмы:
\(pd = 50 - 3q_1\)
\(MC = 5\)

Для второй фирмы:
\(pd = 50 - 3q_2\)
\(MC = 5\)

Теперь рассмотрим пункты "б" и "в":

б) В условиях конкуренции по Курно каждая фирма стремится максимизировать свою прибыль. Это достигается путем выбора объема производства, при котором маржинальная выручка (marginal revenue, MR) равна маржинальной стоимости (MC).

Маржинальная выручка (MR) - это изменение выручки фирмы при производстве одной единицы товара.

В данной задаче, маржинальная выручка (MR) можно получить путем дифференцирования функции реакции по объему производства (q):

для первой фирмы: \(MR_1 = \frac{{d(pd \cdot q_1)}}{{dq_1}}\)
для второй фирмы: \(MR_2 = \frac{{d(pd \cdot q_2)}}{{dq_2}}\)

Поскольку \(pd = 50 - 3q\), то:
\(MR_1 = \frac{{d((50 - 3q_1) \cdot q_1)}}{{dq_1}}\)
\(MR_2 = \frac{{d((50 - 3q_2) \cdot q_2)}}{{dq_2}}\)

Произведем дифференцирование и приравняем маржинальную выручку (MR) маржинальной стоимости (MC):

\(MR_1 = pd + q_1 \cdot \frac{{dpd}}{{dq_1}}\),
\(MR_2 = pd + q_2 \cdot \frac{{dpd}}{{dq_2}}\),

где \(\frac{{dpd}}{{dq_1}}\) и \(\frac{{dpd}}{{dq_2}}\) - производные функции спроса (dpd) по объему производства (q_1 и q_2).

\(MR_1 = pd + q_1 \cdot (-3) = 50 - 4q_1\),
\(MR_2 = pd + q_2 \cdot (-3) = 50 - 4q_2\).

Устанавливаем равенство маржинальной выручки (MR) и маржинальной стоимости (MC):

\(MR_1 = MC = 5\),
\(MR_2 = MC = 5\).

\(50 - 4q_1 = 5\),
\(50 - 4q_2 = 5\).

Решим данные уравнения относительно объемов производства \(q_1\) и \(q_2\):

\(4q_1 = 50 - 5\),
\(4q_2 = 50 - 5\).

\(4q_1 = 45\),
\(4q_2 = 45\).

\(q_1 = \frac{{45}}{{4}} = 11.25\),
\(q_2 = \frac{{45}}{{4}} = 11.25\).

Таким образом, при конкуренции по Курно, каждая фирма производит объем \(11.25\) и рыночная цена равна маржинальной стоимости и составляет \(5\).

в) В случае достижения соглашения между фирмами об объеме производства, фирмы договариваются о совместной стратегии, чтобы увеличить свою прибыль. В этом случае мы должны рассмотреть совместную функцию реакции и уравнение оптимального объема производства.

Пусть \(q\) - суммарный объем производства обеих фирм, а \(q_1\) и \(q_2\) - объемы производства первой и второй фирм соответственно.

Совместная функция реакции будет выглядеть как сумма объемов производства каждой фирмы в зависимости от рыночной цены:

\(q = q_1 + q_2\)

Согласованный объем производства будет определяться приравниванием совместной маржинальной стоимости каждой фирмы к совместной маржинальной выручке.

Совместная маржинальная стоимость (MC) будет равна совместной маржинальной выручке (MR), поскольку они должны быть равными, чтобы достичь оптимального объема производства:

совместная MC = совместная MR

\(5 = MR_1 + MR_2\),

где \(MR_1 = 50 - 4q_1\) и \(MR_2 = 50 - 4q_2\).

Подставим значения \(q_1 = 11.25\) и \(q_2 = 11.25\) в уравнение:

\(5 = 50 - 4 \cdot 11.25 - 4 \cdot 11.25\).

\(5 = 50 - 45 - 45\).

\(5 = -40\).

Заметим, что получили противоречие, поэтому в данном случае не возможно достичь соглашения между фирмами.

Итак, мы получили подробное решение для задачи по дуополии:

а) Функции реакции обеих фирм:
- для первой фирмы: \(q_1 = 11.25\),
- для второй фирмы: \(q_2 = 11.25\).

б) Объем производства каждой фирмы и рыночная цена в условиях конкуренции по Курно:
- каждая фирма производит объем \(11.25\),
- рыночная цена составляет \(5\).

в) В случае достижения соглашения между фирмами:
- не возможно достичь соглашения между фирмами.