Докажите равенство: c/c-5+c²/(c-5)²•25-c²/5c+25=-c/5

Давайте решим задачу по порядку.

Мы должны доказать следующее равенство:

\[\frac{c}{c-5}+\frac{c^2}{{(c-5)}^2} \cdot \frac{25-c^2}{5c+25} = -\frac{c}{5}\]

Перед доказательством, давайте упростим выражение в левой части равенства. Введите формулу:

\[\frac{c}{c-5}+\frac{c^2}{{(c-5)}^2} \cdot \frac{25-c^2}{5c+25}\]

Для начала, давайте приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{c \cdot (5c+25)}{(c-5) \cdot (5c+25)}+\frac{c^2 \cdot (25-c^2)}{{(c-5)}^2 \cdot (5c+25)}\]

Теперь объединим числители:

\[\frac{c \cdot (5c+25) + c^2 \cdot (25-c^2)}{{(c-5)}^2 \cdot (5c+25)}\]

Раскроем скобки:

\[\frac{5c^2 + 25c + 25c - c^3 - 25c^2}{(c-5)^2 \cdot (5c+25)}\]

Упростим числитель:

\[\frac{5c^2 + 50c - c^3}{(c-5)^2 \cdot (5c+25)}\]

Теперь приведем эту дробь к общему знаменателю с правой частью нашего равенства:

\[\frac{5c^2 + 50c - c^3}{(c-5)^2 \cdot (5c+25)} = -\frac{c}{5}\]

Перемножим числитель и знаменатель дроби в правой части на -5:

\[\frac{5c^2 + 50c - c^3}{(c-5)^2 \cdot (5c+25)} = \frac{c}{-5}\]

Домножим обе части равенства на знаменатель дроби в правой части:

\[(5c^2 + 50c - c^3) = \frac{c \cdot (c-5)^2 \cdot (5c+25)}{5}\]

Распределение \(c\) по правой части:

\[(5c^2 + 50c - c^3) = \frac{c \cdot (c^2-10c+25) \cdot (5c+25)}{5}\]

Упростим выражение на правой части:

\[(5c^2 + 50c - c^3) = \frac{c \cdot (5c+25) \cdot (c^2-10c+25)}{5}\]

Умножим числитель и знаменатель дроби на 5:

\[(5c^2 + 50c - c^3) = \frac{c \cdot (5c+25) \cdot (c^2-10c+25)}{5} \cdot \frac{5}{5}\]

Теперь числитель и знаменатель дроби равны, значит:

\[5c^2 + 50c - c^3 = c \cdot (5c+25) \cdot (c^2-10c+25)\]

Распределим \(c\) по правой части:

\[5c^2 + 50c - c^3 = 5c^3 + 25c^2 - 50c^2 - 250c + 25c - 125c^2 + 250c + 625\]

Упростим выражение:

\[5c^2 + 50c - c^3 = 5c^3 + 25c^2 - 50c^2 - 125c^2 + 25c + 250c - 250c + 625\]

Сгруппируем члены:

\[5c^2 + 50c - c^3 = 5c^3 + 25c^2 - 175c^2 + 25c + 375\]

Теперь мы можем заметить, что есть общий член \(5c^2\) слева и справа, а также общий член \(25c\) слева и справа:

\[50c - c^3 = 5c^3 - 150c^2 + 375\]

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

\[0 = c^3 - 5c^3 - 150c^2 + 50c + 375 - 50c\]

Приведем подобные члены:

\[0 = -4c^2 - 100c + 375\]

Теперь решим получившееся уравнение нового неизвестного \(c\).

К сожалению, полученное уравнение более сложное и невозможно решить аналитически. Оно требует численных методов для его решения.