Докажите, используя формулу скалярного произведения, что для вектора а(х, у) выполняются следующие равенства: х = а

Хорошо, чтобы доказать равенства \( х = \mathbf{a} \cdot \mathbf{i} \) и \( у = \mathbf{a} \cdot \mathbf{j} \), нам потребуется использовать формулу скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение векторов определяется следующей формулой:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)
\]

где \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) - векторы, \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) - их длины, а \( \theta \) - угол между ними.

В данной задаче, \( \mathbf{a} \) имеет координаты \( (x, y) \), а единичные векторы \( \mathbf{i} \) и \( \mathbf{j} \) имеют координаты \( (1, 0) \) и \( (0, 1) \) соответственно.

Теперь, подставим значения в формулу скалярного произведения для доказательства первого равенства:

\[
\begin{align*}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{i} &= |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{i}| \cdot \cos(\theta) \\
&= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2} \cdot \cos(\theta) \\
&= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1} \cdot \cos(\theta) \\
&= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \cos(\theta)
\end{align*}
\]

Заметим, что \( \cos(\theta) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) (см. основные свойства геометрических отношений), поэтому:

\[
\begin{align*}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{i} &= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\
&= x
\end{align*}
\]

Таким образом, мы доказали первое равенство \( х = \mathbf{a} \cdot \mathbf{i} \).

Аналогичным образом, мы можем доказать второе равенство \( у = \mathbf{a} \cdot \mathbf{j} \):

\[
\begin{align*}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{j} &= |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{j}| \cdot \cos(\theta) \\
&= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2} \cdot \cos(\theta) \\
&= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{1} \cdot \cos(\theta) \\
&= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \cos(\theta)
\end{align*}
\]

Так как \( \cos(\theta) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \), получаем:

\[
\begin{align*}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{j} &= \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\
&= y
\end{align*}
\]

Таким образом, мы доказали второе равенство \( у = \mathbf{a} \cdot \mathbf{j} \).

Мы использовали формулу скалярного произведения для доказательства данных равенств, а также применили основные свойства геометрических отношений, чтобы упростить выражения. Надеюсь, это объяснение достаточно понятно для школьника.