Докажите, что время полета тела до его падения на землю в два раза превышает время, затраченное на подъем

Данная задача можно решить, используя принцип консервации энергии. Предположим, что тело брошено вертикально вверх со скоростью \(v_0\) и достигает максимальной высоты \(h\). Чтобы решить эту задачу, давайте разделим движение на подъем и падение.

1. Подъем:
Во время подъема на максимальную высоту, скорость тела будет убывать из-за действия силы тяжести. Мы можем использовать уравнение движения для вертикального движения, чтобы выразить максимальную высоту:
\[v_f^2 = v_0^2 - 2gh\]
где \(v_f\) - скорость тела на высоте \(h\), \(g\) - ускорение свободного падения, которое примерно равно \(9.8 \, \text{м/с}^2\).

\(\text{На вершине траектории, } v_f = 0, \text{поэтому}\)
\[0 = v_0^2 - 2gh\]
\[2gh = v_0^2\]
\[h = \frac{v_0^2}{2g}\]

2. Падение:
После достижения максимальной высоты, тело начинает свое падение обратно на землю. Мы можем использовать те же уравнения движения, чтобы найти время падения от максимальной высоты до поверхности земли. Начальная скорость в этом случае будет равна нулю, а конечная скорость будет такой же, как в начальный момент \(v_0\).

Мы можем использовать одно из уравнений равноускоренного движения, чтобы выразить время падения:
\[v_f = v_0 + gt\]
\[0 = v_0 + gt\]
\[t = \frac{-v_0}{g}\]

3. Вычисление отношения времен:
Теперь, когда у нас есть время для подъема и время для падения, мы можем вычислить отношение времен. Время полета до падения на землю будет равно сумме времени подъема и времени падения:
\[t_{\text{полета}} = t_{\text{подъема}} + t_{\text{падения}} = \frac{v_0^2}{2g} + \frac{-v_0}{g}\]
\[t_{\text{полета}} = \frac{v_0^2-v_0}{2g}\]

Теперь давайте сравним это с временем, затраченным на подъем на максимальную высоту:
\[t_{\text{подъема}} = \frac{v_0^2}{2g}\]

Отношение времен:
\[\frac{t_{\text{полета}}}{t_{\text{подъема}}} = \frac{\frac{v_0^2-v_0}{2g}}{\frac{v_0^2}{2g}}\]
\[\frac{t_{\text{полета}}}{t_{\text{подъема}}} = \frac{v_0^2-v_0}{v_0^2}\]

Чтобы доказать, что время полета в два раза превышает время подъема, мы должны показать, что отношение времен равно 2:
\[\frac{t_{\text{полета}}}{t_{\text{подъема}}} = \frac{v_0^2-v_0}{v_0^2} = 2\]

Чтобы это сделать, давайте упростим уравнение:
\[\frac{v_0^2-v_0}{v_0^2} = 2\]
\[v_0^2-v_0 = 2v_0^2\]
\[v_0 = 2v_0^2 - v_0\]
\[v_0 = v_0(2v_0 - 1)\]
\[1 = 2v_0 - 1\]
\[2 = 2v_0\]
\[v_0 = 1\]

Таким образом, мы доказали, что для того, чтобы время полета тела до его падения на землю было в два раза больше времени, затраченного на подъем на максимальную высоту, начальная скорость должна быть равна 1 м/с.