Докажите, что сумма чисел в каждой строке или столбце в таблице размером m × n равна

Для доказательства того, что сумма чисел в каждой строке или столбце в таблице размером \(m \times n\) равна, мы воспользуемся свойством алгебраических операций и использованием суммы.

Предположим, что у нас есть таблица размером \(m \times n\), где \(m\) - количество строк, а \(n\) - количество столбцов. Пусть \(a_{ij}\) будет элементом, находящимся в \(i\)-й строке и \(j\)-м столбце этой таблицы.

Для начала, рассмотрим сумму чисел в \(i\)-й строке. Это будет сумма всех элементов \(a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in}\) в данной строке. Обозначим эту сумму как \(S_i\).

Аналогично, рассмотрим сумму чисел в \(j\)-м столбце. Она будет представлять собой сумму всех элементов \(a_{1j}, a_{2j}, \ldots, a_{mj}\) в данном столбце. Обозначим эту сумму как \(T_j\).

Теперь, чтобы доказать, что сумма чисел в каждой строке или столбце равна, нужно показать, что \(S_i = T_j\) для любого \(i\) и \(j\).

Для этого сравним суммы всех чисел в строках и столбцах:

1. Рассмотрим сумму чисел во всех строках. Она будет равна \(S_1 + S_2 + \ldots + S_m\).

2. Рассмотрим сумму чисел во всех столбцах. Она будет равна \(T_1 + T_2 + \ldots + T_n\).

Теперь, поскольку мы говорим о таблице размером \(m \times n\), у нас есть \(m\) строк и \(n\) столбцов. Следовательно, сумма должна быть одинакова, и мы можем записать:

\[S_1 + S_2 + \ldots + S_m = T_1 + T_2 + \ldots + T_n\]

Это значит, что сумма чисел в каждой строке равна сумме чисел в каждом столбце.

Таким образом, мы доказали, что сумма чисел в каждой строке или столбце в таблице размером \(m \times n\) равна.