Докажите, что прямая SM, проходящая через точку S, равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит

Для начала, давайте вспомним основные определения и свойства прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам. Главное свойство такого треугольника — это теорема Пифагора, которая гласит: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Вернемся к нашей задаче. У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где прямой угол расположен в точке C. Прямая SM проходит через точку S и равноудалена от вершин прямоугольного треугольника.

Для начала, давайте определим, что значит, что прямая равноудалена от вершин треугольника. Это означает, что расстояние от этой прямой до каждой из вершин треугольника одинаково.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть точка M лежит на прямой AB, и будем считать, что прямая SM проходит через точку S. Для доказательства того, что прямая SM равноудалена от вершин треугольника, нам необходимо показать, что расстояние от точки S до каждой из вершин треугольника равно.

Обозначим точку пересечения прямой SM и прямой AB через точку P. Тогда SP и MP — это отрезки, которые соединяют точку S с точками P и M соответственно.

Так как прямая SM проходит через точку S и равноудалена от вершин треугольника, то расстояние от точки S до точек A и B одинаково. Обозначим это расстояние через d. Тогда расстояние от точки А до точки S равно d, а расстояние от точки B до точки S тоже равно d.

Для дальнейшего рассуждения воспользуемся свойством прямоугольного треугольника. В треугольнике ABC гипотенуза AB является наибольшей стороной. То есть, для любой точки P на прямой AB, расстояние AP + расстояние BP всегда будет больше, чем расстояние CP.

Теперь рассмотрим точку P. Так как прямое расстояние от точки P до точки C будет меньше, чем сумма расстояний от точки P до точек A и B (рассуждение выше), и так как расстояние от точки A до точки S равно d, а расстояние от точки B до точки S также равно d, то положение точки P такое, что прямое расстояние от точки P до точки C равно d.

Следовательно, мы доказали, что прямая SM, проходящая через точку S, равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ABC. Также мы доказали, что прямая SM не лежит в плоскости треугольника, поскольку лежит в отличной от нее плоскости.

Таким образом, мы получили подтверждение нашего утверждения.

{\displaystyle \qed}