Докажите, что один из углов треугольника является тупым, если координаты его вершин следующие: А(3; 5; 3), В(2

Чтобы доказать, что один из углов треугольника является тупым, мы можем использовать свойство скалярного произведения векторов. Давайте разберемся пошагово.

1. Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\) с помощью координат вершин треугольника.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно найти, вычитая из координат точки B координаты точки A:

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-3 \\ -1-5 \\ 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Аналогично найдем векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ 0-5 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ -3 \end{pmatrix}\]

\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 0-(-1) \\ 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\)

2. Вычислим скалярные произведения векторов \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}\).

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (-1)\cdot(-3) + (-6)\cdot(-5) + 1\cdot(-3) = 3 + 30 - 3 = 30\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = (-1)\cdot(-2) + (-6)\cdot1 + 1\cdot(-4) = 2 - 6 - 4 = -8\)

\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC} = (-3)\cdot(-2) + (-5)\cdot1 + (-3)\cdot(-4) = 6 - 5 + 12 = 13\)

3. Если одно из скалярных произведений будет отрицательным, то угол между соответствующими векторами будет тупым.

В нашем случае, произведение \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = -8\) отрицательное, что означает, что угол B между сторонами AB и BC является тупым.

Таким образом, мы доказали, что один из углов треугольника ABC является тупым.