Докажите, что функция y=49/x имеет обратную функцию, и найдите ее аналитическое представление. ответ

Чтобы доказать, что функция \(y = \frac{49}{x}\) имеет обратную функцию, мы должны проверить, что она удовлетворяет двум условиям:

1. Каждому значению \(x\) на области определения функции \(y = \frac{49}{x}\) соответствует только одно значение \(y\).

2. Каждому значению \(y\) в области определения обратной функции соответствует только одно значение \(x\).

Сначала рассмотрим первое условие. Предположим, что у нас есть два различных значения \(x_1\) и \(x_2\) в области определения функции \(y = \frac{49}{x}\), которые дают одно и то же значение \(y\):

\[\frac{49}{x_1} = \frac{49}{x_2} = y\]

Мы можем умножить обе стороны уравнения на \(x_1 \cdot x_2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[x_1 \cdot x_2 \cdot \frac{49}{x_1} = x_1 \cdot x_2 \cdot \frac{49}{x_2}\]

После сокращения:

\[x_2 \cdot 49 = x_1 \cdot 49\]

Теперь мы видим, что \(x_1 = x_2\), что означает, что каждому значению \(x\) соответствует только одно значение \(y\). Таким образом, первое условие выполнено.

Теперь перейдем ко второму условию, которое требует, чтобы каждому значению \(y\) в области определения обратной функции соответствовало только одно значение \(x\). Для этого найдем обратную функцию к \(y = \frac{49}{x}\).

Первым шагом заменим \(y\) на \(x\):

\[x = \frac{49}{y}\]

Теперь решим уравнение относительно \(y\). Умножим обе стороны на \(y\):

\[x \cdot y = 49\]

Теперь разделим обе стороны на \(x\):

\[y = \frac{49}{x}\]

Таким образом, мы получили исходную функцию \(y = \frac{49}{x}\). Это означает, что обратная функция равна исходной функции.

Аналитическое представление обратной функции: \(y = \frac{49}{x}\)