Докажите, что четырехугольник МКНР является выпуклым на рисунке 8, где ABCD — прямоугольник и ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4

Чтобы доказать, что четырехугольник МКНР является выпуклым на рисунке 8, где ABCD — прямоугольник и \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4, \angle 5 = \angle 6, \angle 7\), нам понадобится использовать свойства выпуклых многоугольников и информацию о данных углах.

Выпуклый многоугольник - это многоугольник, все внутренние углы которого меньше 180 градусов. Для доказательства выпуклости четырехугольника МКНР, нам нужно проверить, что все внутренние углы этого четырехугольника меньше 180 градусов.

Начнем с рассмотрения угла \(\angle KMN\). Мы знаем, что угол \(\angle 1\) равен углу \(\angle 2\), а также что угол \(\angle 3\) равен углу \(\angle 4\). Так как прямая линия \(\overline{MN}\) является расширением стороны прямоугольника ABCD, то углы \(\angle KMN\) и \(\angle KMD\) образуют пару вертикальных углов, что означает, что они равны.

Аналогично, рассмотрим угол \(\angle KRN\). У нас есть углы \(\angle 5 = \angle 6\) и \(\angle 7\). Так как сторона \(\overline{NR}\) также является продолжением стороны прямоугольника ABCD, углы \(\angle KRN\) и \(\angle KRC\) образуют пару вертикальных углов и получается, что они равны.

Теперь, чтобы доказать, что все углы внутри четырехугольника МКНР меньше 180 градусов, нам нужно рассмотреть углы \(\angle MKN\) и \(\angle MKR\). Мы видим, что углы \(\angle KMN\), \(\angle KMD\), \(\angle KRN\), \(\angle KRC\) равны соответственно. Также, у нас есть прямые углы внутри прямоугольника ABCD, значит углы \(\angle MKD\) и \(\angle MKC\) также являются прямыми углами.

Исходя из этих фактов, мы видим, что сумма углов \(\angle MKN\) и \(\angle MKR\) равна сумме углов \(\angle KMN\), \(\angle MKD\), \(\angle KRN\), \(\angle MKC\). Поскольку каждый из этих углов меньше 180 градусов, сумма углов \(\angle MKN\) и \(\angle MKR\) также будет меньше 180 градусов. Это означает, что все углы внутри четырехугольника МКНР меньше 180 градусов, что и требуется для того, чтобы он был выпуклым.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник МКНР является выпуклым на рисунке 8, в условиях где ABCD - прямоугольник и \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4, \angle 5 = \angle 6, \angle 7\).