Для какого максимального значения параметра b существует такой угол α, при котором уравнение x²+(2sin α+3 cosα)x+b=0

Чтобы найти максимальное значение параметра \( b \), при котором уравнение имеет действительные корни, мы можем использовать дискриминант \( D \) уравнения.

Дискриминант \( D \) для данного квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

Для нашего уравнения \( x^2 + (2\sin\alpha + 3\cos\alpha)x + b = 0 \) параметры \( a = 1 \), \( b = 2\sin\alpha + 3\cos\alpha \), \( c = b \).

Чтобы найти максимальное значение параметра \( b \), при котором уравнение имеет действительные корни, необходимо, чтобы дискриминант \( D \) был больше или равен нулю:

\[ D = b^2 - 4ac \geq 0 \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( c = b \), поэтому мы можем переписать условие как:

\[ (2\sin\alpha + 3\cos\alpha)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b \geq 0 \]

Раскроем квадрат и приведём подобные слагаемые:

\[ 4\sin^2\alpha + 12\sin\alpha\cos\alpha + 9\cos^2\alpha - 4b \geq 0 \]

Мы знаем, что \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), поэтому заменим это выражение:

\[ 4 - 3\sin^2\alpha - 12\sin\alpha\cos\alpha - 4b \geq 0 \]

Теперь упростим неравенство, разделим все на 4:

\[ 1 - \dfrac{3}{4}\sin^2\alpha - 3\sin\alpha\cos\alpha - b \geq 0 \]

Мы видим, что при данных параметрах \( a = 1 \) и \( c = b \), максимальное значение параметра \( b \) будет зависеть от значения выражения \( \dfrac{3}{4}\sin^2\alpha + 3\sin\alpha\cos\alpha \).

Давайте рассмотрим это выражение более подробно.

Выражение \( \sin^2\alpha + \sin\alpha\cos\alpha \) можно переписать в виде \( \sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) \).

Теперь мы знаем, что значение синуса на интервале от 0 до 2π включительно наибольшее возможное значение равно 1, а косинуса -2.

Таким образом, максимальное значение \( \sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) \) будет равно \( 1 \cdot (1 + (-1)) = 1 \cdot 0 = 0 \).

Поэтому максимальное значение параметра \( b \) такое, что \( \dfrac{3}{4}\sin^2\alpha + 3\sin\alpha\cos\alpha = 0 \).

В данном случае, когда выражение равно 0, параметр \( b \) может быть любым числом, поскольку это не влияет на уравнение и наличие действительных корней.

Таким образом, максимальное значение параметра \( b \) не ограничено и может быть любым.