Дайте точкам а(4; 6; –3), в(7; 3; 5), с(–5; –4; 0), d(3; 0; –5) на карте. Найти: 1) координаты вектора ac 2) расстояние

Хорошо, давайте решим задачу поэтапно:

1) Координаты вектора ac можно найти, вычитая из координат точки c координаты точки a.
\(\overrightarrow{ac} = \begin{pmatrix} -5 - 4 \\ -4 - 6 \\ 0 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -10 \\ 3 \end{pmatrix}\)

2) Расстояние между точками b и а можно найти с использованием формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\(d = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}\)
В данном случае:
\(d = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - 6)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 9 + 64} = \sqrt{82}\)

3) Чтобы найти координаты середины отрезка св, нужно взять среднее арифметическое значений координат точек s и v.
\((x_{mid}, y_{mid}, z_{mid}) = \left(\frac{x_s + x_v}{2}, \frac{y_s + y_v}{2}, \frac{z_s + z_v}{2}\right)\)
В данном случае:
\((x_{mid}, y_{mid}, z_{mid}) = \left(\frac{7 + (-5)}{2}, \frac{3 + (-4)}{2}, \frac{5 + 0}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{5}{2}\right) = (1, -\frac{1}{2}, \frac{5}{2})\)

4) Чтобы найти вектор cb ^ ad (векторное произведение), нужно использовать формулу:
\(\overrightarrow{cb} \times \overrightarrow{ad} = \begin{pmatrix} y_{cb} \cdot z_{ad} - z_{cb} \cdot y_{ad} \\ z_{cb} \cdot x_{ad} - x_{cb} \cdot z_{ad} \\ x_{cb} \cdot y_{ad} - y_{cb} \cdot x_{ad} \end{pmatrix}\)
В данном случае:
\(\overrightarrow{cb} = \begin{pmatrix} 7 - (-5) \\ 3 - (-4) \\ 5 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{ad} = \begin{pmatrix} 3 - 4 \\ 0 - 6 \\ -5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Подставим значения и рассчитаем:
\(\overrightarrow{cb} \times \overrightarrow{ad} = \begin{pmatrix} 7 \cdot (-2) - 5 \cdot (-6) \\ 5 \cdot (-1) - 12 \cdot (-2) \\ 12 \cdot 6 - 7 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 29 \\ 79 \end{pmatrix}\)

5) Угол между векторами cb и ad можно найти с помощью формулы скалярного произведения:
\(\cos(\Theta) = \frac{\overrightarrow{cb} \cdot \overrightarrow{ad}}{\|\overrightarrow{cb}\| \cdot \|\overrightarrow{ad}\|}\)
где \(\overrightarrow{cb} \cdot \overrightarrow{ad}\) - скалярное произведение, \(\|\overrightarrow{cb}\|\) и \(\|\overrightarrow{ad}\|\) - длины векторов.

В данном случае:
\(\overrightarrow{cb} \cdot \overrightarrow{ad} = -8 \cdot (-1) + 29 \cdot (-6) + 79 \cdot (-2) = 8 - 174 - 158 = -324\)
\(\|\overrightarrow{cb}\| = \sqrt{12^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 49 + 25} = \sqrt{218}\)
\(\|\overrightarrow{ad}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 36 + 4} = \sqrt{41}\)

Подставим значения в формулу и рассчитаем:
\(\cos(\Theta) = \frac{-324}{\sqrt{218} \cdot \sqrt{41}}\)
\(\Theta = \arccos\left(\frac{-324}{\sqrt{218} \cdot \sqrt{41}}\right)\)

6) Для расчета \((ca+db)^bc\) нам нужно посчитать векторы ca и db, затем их сумму и умножить на вектор bc.
\(\overrightarrow{ca} = \begin{pmatrix} 4 - (-5) \\ 6 - (-4) \\ -3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 10 \\ -3 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{db} = \begin{pmatrix} 3 - 7 \\ 0 - 3 \\ -5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -10 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{ca} + \overrightarrow{db} = \begin{pmatrix} 9 \\ 10 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -13 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{ca} + \overrightarrow{db} \times \overrightarrow{bc} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -13 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 56 \\ -205 \\ -29 \end{pmatrix}\)

Пожалуйста, вот подробные ответы на каждый пункт задачи. Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать!