Что такое периметр треугольника ABC с координатами вершин A(2;1), B(5;6) и C(11;4)? Как его можно выразить?

Чтобы найти периметр треугольника ABC, нужно вычислить сумму длин всех его сторон. Для этого нам потребуется расстояние между каждой парой вершин.

Начнем с стороны AB. Для нахождения расстояния между точками A(2;1) и B(5;6) воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d_{AB} = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}\]

Подставим значения координат в эту формулу:

\[d_{AB} = \sqrt{{(5 - 2)^2 + (6 - 1)^2}} = \sqrt{{3^2 + 5^2}} = \sqrt{{9 + 25}} = \sqrt{{34}}\]

Теперь найдем длину стороны BC. Для этого вычислим расстояние между точками B(5;6) и C(11;4):

\[d_{BC} = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}}\]

Подставляем значения координат:

\[d_{BC} = \sqrt{{(11 - 5)^2 + (4 - 6)^2}} = \sqrt{{6^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{36 + 4}} = \sqrt{{40}}\]

Наконец, найдем длину стороны CA. Для этого вычислим расстояние между точками C(11;4) и A(2;1):

\[d_{CA} = \sqrt{{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}}\]

Подставляем значения координат:

\[d_{CA} = \sqrt{{(2 - 11)^2 + (1 - 4)^2}} = \sqrt{{(-9)^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{81 + 9}} = \sqrt{{90}}\]

Теперь, чтобы получить периметр треугольника ABC, просто сложим длины всех трех сторон:

\[P = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} = \sqrt{{34}} + \sqrt{{40}} + \sqrt{{90}} \]

Получили периметр треугольника ABC.

*Обоснование*
Формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат основана на теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Мы применили эту формулу три раза для вычисления длин трех сторон треугольника ABC, а затем просто сложили полученные значения. Это даёт нам значение периметра.