Что такое ожидаемое значение М(18(Х-У-3)^2), когда Х и У - независимые и равномерно распределенные на

интервале от 0 до 1?
Для того чтобы найти ожидаемое значение выражения \(М(18(Х-У-3)^2)\), где \(X\) и \(Y\) независимые и равномерно распределенные на интервале от 0 до 1, нам нужно найти среднее значение выражения для всех возможных значений \(X\) и \(Y\) на этом интервале.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание \(E(X- Y- 3)^2\) для случайной величины \(X-Y-3\).
Мы знаем, что \(X\) и \(Y\) независимые и равномерно распределенные на интервале от 0 до 1, поэтому каждая из этих случайных величин имеет плотность вероятности \(f(t) = 1\) для \(0 \leq t \leq 1\), иначе \(f(t) = 0\).

Чтобы найти \(E(X- Y- 3)^2\), мы можем воспользоваться определением математического ожидания:
\[E(X- Y- 3)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (X- Y- 3)^2 \cdot f(t) \, dt\]
Учитывая, что \(X\) и \(Y\) находятся в интервале от 0 до 1, мы можем изменить пределы интегрирования:
\[E(X- Y- 3)^2 = \int_{0}^{1} (X- Y- 3)^2 \cdot 1 \, dt\]
Раскроем и упростим выражение внутри интеграла:
\[(X- Y- 3)^2 = X^2 + Y^2 + 9 - 2XY - 6X + 6Y\]
Теперь подставим это выражение обратно в наше определение математического ожидания:
\[E(X- Y- 3)^2 = \int_{0}^{1} (X^2 + Y^2 + 9 - 2XY - 6X + 6Y) \, dt\]
Распределим интеграл по каждому слагаемому:
\[E(X- Y- 3)^2 = \int_{0}^{1} X^2 \, dt + \int_{0}^{1} Y^2 \, dt + \int_{0}^{1} 9 \, dt - \int_{0}^{1} 2XY \, dt - \int_{0}^{1} 6X \, dt + \int_{0}^{1} 6Y \, dt\]
Проинтегрируем каждое слагаемое с учетом пределов интегрирования:
\[E(X- Y- 3)^2 = \left[\frac{X^3}{3}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{Y^3}{3}\right]_{0}^{1} + \left[9t\right]_{0}^{1} - \left[XYt\right]_{0}^{1} - \left[3X^2\right]_{0}^{1} + \left[3Y^2\right]_{0}^{1}\]
Подставим значения верхнего и нижнего пределов интегрирования и выполняем вычисления:
\[E(X- Y- 3)^2 = \left(\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right) + 9 - (1)(1)(1) - (3)(1) + (3)(1) = \frac{2}{3}\]

Шаг 2: Найдем \(М(18(Х-У-3)^2)\), используя полученное значение \(E(X- Y- 3)^2\).
Умножим \(E(X- Y- 3)^2\) на 18:
\(М(18(Х-У-3)^2) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12\)

Таким образом, ожидаемое значение выражения \(М(18(Х-У-3)^2)\) равно 12 при условии, что \(X\) и \(Y\) независимые и равномерно распределенные на интервале от 0 до 1.