Что нужно вычислить для правильной четырехугольной пирамиды с площадью основания V A B C D равной 144 см и высотой

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нужно вычислить сумму площадей боковых треугольников. Каждый боковой треугольник имеет две стороны равные сторонам основания, а третья сторона - ребро пирамиды. Таким образом, площадь каждого бокового треугольника можно найти с помощью формулы Герона.

Пусть сторона основания V A B C D равна \(a\), а ребро пирамиды равно \(h\).

Тогда подставим значения в формулу Герона и найдем площадь бокового треугольника:
\[S_{\text{б}} = \sqrt{p(p - a)(p - a)(p - h)}\]
где \(p\) - полупериметр треугольника, вычисляется по формуле:
\[p = \frac{{a + a + h}}{2}\]

Для нашей пирамиды, сторона основания \(a = 12\) см и ребро \(h = 8\) см. Подставим значения в формулы:
\[p = \frac{{12 + 12 + 8}}{2} = 16\]
\[S_{\text{б}} = \sqrt{16(16 - 12)(16 - 12)(16 - 8)}\]
\[S_{\text{б}} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 8} = \sqrt{2048} \approx 45.25\text{ см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна приблизительно \(45.25\) см².

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно прибавить площадь основания к площади боковой поверхности. Площадь основания равна \(144\) см², которая дана в условии, а площадь боковой поверхности мы уже вычислили, и она равна \(45.25\) см².

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна \(144 + 45.25 = 189.25\) см².

Чтобы найти объем пирамиды, нужно воспользоваться формулой:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h\]
где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Для нашей пирамиды площадь основания \(S_{\text{осн}} = 144\) см² и высота \(h = 8\) см. Подставим значения в формулу:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot 1152\]
\[V = 384\]

Таким образом, объем пирамиды равен \(384\) см³.