Что нужно найти в разложении бинома Ньютона (4x−5)^13, относительно

Чтобы найти то, что требуется в разложении бинома Ньютона \((4x-5)^{13}\), относительно определенного члена, вам понадобится формула для расчета коэффициентов такого разложения. Эта формула известна как формула бинома Ньютона и имеет следующий вид:

\[(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n}a^0 b^n\]

Здесь \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Теперь применим эту формулу к нашей задаче. У нас есть бином \((4x-5)^{13}\) и нам нужно найти член со степенью \(x^9\). Для этого запишем общий член разложения бинома Ньютона:

\(\binom{13}{k} (4x)^{13-k} (-5)^k\)

Теперь мы возьмем только те члены, у которых степень \(x\) равна 9. Это означает, что \(13-k = 9\), откуда \(k = 13-9 = 4\). Подставляя вместо \(k\) значение 4 в общую формулу, получаем:

\(\binom{13}{4} (4x)^{13-4} (-5)^4 = \binom{13}{4} 4^9 (-5)^4\)

Вычислим значения биномиального коэффициента и подставим их в формулу:

\(\binom{13}{4} = \frac{13!}{4!(13-4)!}\)

Сокращаем факториалы:

\(\binom{13}{4} = \frac{13!}{4!9!}\)

Посчитаем числитель и знаменатель отдельно:

\(13! = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!\)

\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)

Подставляем значения обратно в формулу:

\(\binom{13}{4} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 715\)

Теперь вычислим значения \(4^9\) и \((-5)^4\):

\(4^9 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 262144\)

\((-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625\)

Теперь подставим все значения в исходную формулу:

\(\binom{13}{4} 4^9 (-5)^4 = 715 \cdot 262144 \cdot 625 = 112394240000\)

Таким образом, требуемый член разложения бинома Ньютона \((4x-5)^{13}\) относительно \(x^9\) равен \(112394240000\).