Что нужно найти для фигур, ограниченных кривой y=lnx, касательной в точке

Question

Математика: Что нужно найти для фигур, ограниченных кривой y=lnx, касательной в точке x=e, и осью?

Сергеевич · Accepted Answer

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = \ln x\), касательной в точке \(x = e\), и осью \(x\). Для этого мы можем использовать понятие определенного интеграла.

Шаг 1: Найдем точку касания кривой и оси \(x\).
Для этого подставим в уравнение кривой \(y = \ln x\) значение \(x = e\).
\(y = \ln e = 1\).
Таким образом, точка касания находится в координатах \((e, 1)\).

Шаг 2: Найдем площадь фигуры, ограниченной кривой, касательной и осью \(x\).
Для этого вычислим определенный интеграл от \(0\) до \(e\) функции \(-(\ln x - 1)\) по оси \(x\).
\[\int_{0}^{e} -(\ln x - 1) dx\]

Шаг 3: Вычислим данный интеграл.
Раскроем скобки и интегрируем каждый слагаемый отдельно.
\[\int_{0}^{e} -\ln x dx + \int_{0}^{e} dx = -\int_{0}^{e} \ln x dx + \int_{0}^{e} dx\]

Интегрируем первое слагаемое.
\[-\int_{0}^{e} \ln x dx = \left[-x \ln x + x\right]_{0}^{e}\]
\[= -e \ln e + e - (0 \cdot \ln 0 + 0) = -e + e = 0\]

Интегрируем второе слагаемое.
\[\int_{0}^{e} dx = \left[x\right]_{0}^{e} = e - 0 = e\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = \ln x\), касательной в точке \(x = e\), и осью \(x\), равна \(e\).

Ответ: Площадь этой фигуры равна \(e\).

Что нужно найти для фигур, ограниченных кривой y=lnx, касательной в точке x=e, и осью?

Сергеевич

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!